1994. aastal tõestatud teoreem. Fermat' viimane teoreem: Wilesi ja Perelmani tõestus, valemid, arvutusreeglid ja teoreemi täielik tõestus

Möödunud kahekümnendal sajandil leidis aset sündmus, mille mastaapsus pole matemaatikas kogu oma ajaloo jooksul kunagi olnud võrdne. 19. septembril 1994 tõestati teoreem, mille Pierre de Fermat (1601-1665) sõnastas enam kui 350 aastat tagasi aastal 1637. Seda tuntakse ka kui "Fermat'i viimast teoreemi" või "Fermat' viimast teoreemi", sest seal on ka nn "Fermat' väike teoreem". Seda tõestas 41-aastane Princetoni ülikooli professor Andrew Wiles, kes oli seni olnud matemaatikaringkonnas märkamatu ja matemaatiliste standardite kohaselt polnud ta enam noor.

On üllatav, et sellest sündmusest ei tea tegelikult mitte ainult meie tavalised vene elanikud, vaid ka paljud teadushuvilised, sealhulgas isegi arvestatav hulk Venemaa teadlasi, kes ühel või teisel viisil matemaatikat kasutavad. Seda näitavad pidevad "sensatsioonilised" teated Fermat' teoreemi "elementaarsetest tõestustest" Venemaa populaarsetes ajalehtedes ja televisioonis. Viimased tõendid olid kaetud sellise teabejõuga, nagu polekski Wilesi tõendeid, mis olid läbinud kõige autoriteetsema uurimise ja kogu maailmas laialdaselt tuntuks saanud. Vene matemaatikaringkondade reaktsioon sellele esilehe uudisele ammu hangitud range tõestuse kontekstis oli üllatavalt loid. Meie eesmärk on visandada Wilesi tõestuse põnev ja dramaatiline ajalugu Fermat' suure teoreemi enda lummava ajaloo kontekstis ning rääkida veidi selle tõestamisest endast. Siin huvitab meid eeskätt küsimus Wilesi tõestuse ligipääsetava esituse võimalikkusest, millest enamik maailma matemaatikuid muidugi teab, kuid vaid väga-väga vähesed neist saavad rääkida selle tõestuse mõistmisest.

Niisiis, meenutagem Fermat' kuulsat teoreemi. Enamik meist on sellest ühel või teisel moel kuulnud juba kooliajast saadik. See teoreem on seotud väga olulise võrrandiga. See on võib-olla kõige lihtsam tähenduslik võrrand, mille saab kirjutada kolme tundmatu ja ühe rangelt positiivse täisarvu parameetri abil. Siin see on:

Fermat' viimane teoreem väidab, et parameetri väärtuste (võrrandi aste) puhul, mis on suuremad kui kaks, ei ole antud võrrandil täisarvulisi lahendeid (välja arvatud muidugi lahendus, kui kõik need muutujad on nulliga sama aeg).

Fermat’ teoreemi ligitõmbav jõud laiema avalikkuse jaoks on ilmne: pole teist matemaatilist väidet, millel oleks nii sõnastuse lihtsus, tõestuse näiline ligipääsetavus, aga ka selle "staatuse" atraktiivsus ühiskonna silmis.

Enne Wilesi oli fermatistide (nii kutsuti inimesi, kes Fermat’ probleemi maniakaalselt ründasid) lisastiimuliks sakslase Wolfskehli tõendusauhind, mis asutati peaaegu sada aastat tagasi, kuigi Nobeli preemiaga võrreldes väike – see suutis esimese aasta jooksul odavneda. Maailmasõda.

Lisaks on alati tähelepanu pälvinud tõestuse tõenäoline elementaarsus, kuna Fermat ise "tõestas" seda, kirjutades Diophantose Aritmeetika tõlke äärtesse: "Olen leidnud selle kohta tõeliselt imelise tõestuse, aga veerised siin on liiga kitsad, et seda hoida."

Seetõttu on siinkohal kohane anda hinnang kuulsale Ameerika matemaatikule R. Murtyle kuuluva Wilesi Fermat’ probleemi tõestuse populariseerimise asjakohasusele (tsiteerime raamatu peagi ilmuvat tõlget Yu. Manin ja A. Panchishkin “Sissejuhatus kaasaegsesse arvuteooriasse”):

"Fermat'i viimane teoreem hõivab eriline koht tsivilisatsiooni ajaloos. Oma välise lihtsusega on see alati köitnud nii amatööre kui ka professionaale... Kõik näib olevat väljamõeldud mõne kõrgema mõistuse poolt, kes sajandite jooksul arendas välja erinevaid mõtteliine, et need siis uuesti ühendada üheks põnevaks sulandumiseks, et lahendada Suur. Fermat' teoreemid. Keegi ei saa väita, et ta on kõigi selles "ime" tõendis kasutatud ideede ekspert. Universaalse spetsialiseerumise ajastul, mil igaüks meist teab „vähem ja vähemast rohkem ja rohkem”, on sellest meistriteosest absoluutselt vajalik ülevaade...”

Kõik pikk lugu Salapärase teoreemiga kaasnesid pidevad teated selle tõestamisest, alustades Fermat'st endast. Pidevad vead lõputus tõestusvoos ei tabanud mitte ainult amatöörmatemaatikuid, vaid ka professionaalseid matemaatikuid. See tõi kaasa tõsiasja, et terminist "fermatist", mida kasutati Fermat' teoreemi tõestajate kohta, sai tavaline nimisõna. Pidev intriig oma tõestusega tõi mõnikord kaasa naljakaid juhtumeid. Niisiis, kui Wilesi juba laialdaselt avalikustatud tõendi esimeses versioonis avastati lünk, ilmus ühte New Yorgi metroojaama pahatahtlik kiri: "Leidsin tõeliselt imelise tõestuse Fermat' viimase teoreemi kohta, kuid minu rong on saabunud. ja mul pole aega seda üles kirjutada.

Andrew Wiles, sündinud 1953. aastal Inglismaal, õppis Cambridge'is matemaatikat; aspirantuuris õppis ta professor John Coatesi juures. Tema juhendamisel mõistis Andrew piiril asuva jaapani matemaatiku Iwasawa teooriat. klassikaline teooria arvud ja kaasaegne algebraline geomeetria. Seda näiliselt kaugete matemaatiliste distsipliinide sulandumist nimetatakse aritmeetiliseks algebraliseks geomeetriaks. Andrew vaidlustas Fermat' probleemi, tuginedes just sellele sünteetilisele teooriale, mis on raske isegi paljudele professionaalsetele matemaatikutele.

Pärast kraadiõppe lõpetamist asus Wiles tööle Princetoni ülikoolis, kus ta töötab siiani. Ta on abielus ja tal on kolm tütart, kellest kaks sündisid "tõendi esimese versiooni seitsmeaastase protsessi käigus". Nende aastate jooksul teadis ainult Andrew naine Nada, et ta tormas üksi matemaatika kõige kättesaamatul ja kuulsamal tipul. Just neile, Nadyale, Claire'ile, Kate'ile ja Oliviale, on pühendatud Wilesi kuulus lõpuartikkel "Modulaarsed elliptilised kõverad ja Fermat' viimane teoreem" keskses matemaatikaajakirjas "Annals of Mathematics", kus on kõige olulisem matemaatiline töö.

Sündmused ise tõestuse ümber arenesid üsna dramaatiliselt. Seda põnevat stsenaariumi võiks nimetada "fermatistiks – professionaalseks matemaatikuks".

Tõepoolest, Andrew unistas juba Fermat' teoreemi tõestamisest teismelised aastad. Kuid erinevalt valdavast enamusest fermatistidest oli talle selge, et selleks on vaja omandada terved kihid kõige keerulisemast matemaatikast. Eesmärgi poole liikudes lõpetab Andrew kuulsa Cambridge'i ülikooli matemaatikateaduskonna ja hakkab spetsialiseeruma kaasaegsele arvuteooriale, mis on ristumiskohas algebralise geomeetriaga.

Särava tipu tormimise idee on üsna lihtne ja põhimõtteline - parim võimalik laskemoon ja marsruudi hoolikas arendamine.

Võimsa vahendina eesmärgi saavutamiseks valitakse Wilesi enda välja töötatud ja talle juba tuttav Iwasawa teooria, millel on sügavad ajaloolised juured. See teooria üldistas Kummeri teooriat, mis oli ajalooliselt esimene tõsine matemaatiline teooria, mis ründas Fermat' probleemi, mis ilmus juba 19. sajandil. Kummeri teooria juured omakorda peituvad legendaarse ja hiilgava romantilise revolutsionääri Evariste Galoisi kuulsas teoorias, kes suri kahekümne ühe aasta vanuselt kahevõitluses tüdruku au kaitseks (pange tähele, meenutades lugu Taniyamaga , kaunite daamide saatuslikule rollile matemaatika ajaloos).

Wiles on täielikult tõestusse sukeldunud, peatades isegi osalemise teaduskonverentsid. Ja 1993. aasta mais Princetoni matemaatikakogukonnast seitsmeaastase taganemise tulemusena pani Andrew oma tekstile lõpu – töö oli tehtud.

Just sel ajal avaneb suurepärane võimalus teavitada teadusmaailm selle avastamise kohta - juba juunis pidi tema kodumaal Cambridge'is toimuma konverents täpselt õigel teemal. Kolm Isaac Newtoni loengut Cambridge'i Instituudis erutavad mitte ainult matemaatilist maailma, vaid ka laiemat avalikkust. Kolmanda loengu lõpus, 23. juunil 1993, kuulutab Wiles välja Fermat' viimase teoreemi tõestuse. Tõestus on täis terve hunniku uusi ideid, nagu uus lähenemine Taniyama-Shimura-Weili oletustele, kaugele arenenud Iwasawa teooriale, Galois' esituste uuele "deformatsioonikontrolli teooriale". Matemaatikaringkond ootab pikisilmi, millal aritmeetilise algebralise geomeetria eksperdid tõestuse teksti üle vaatavad.

Siin saabub dramaatiline pööre. Wiles ise avastab arvustajatega suheldes oma tõendites lünga. Prao põhjustas tema enda leiutatud "deformatsioonikontrolli" mehhanism - tõestuse kandekonstruktsioon.

Lõhe ilmneb paar kuud hiljem Wilesi rida-realt selgitustest oma tõendite kohta Princetoni õppejõu kolleegile Nick Katzile. Nick Katz, kes oli Andrewga pikka aega sõbralikes suhetes, soovitab tal teha koostööd noore lootustandva inglise matemaatiku Richard Tayloriga.

Möödub järjekordne raske töö aasta, mis on seotud lahendamatu probleemi ründamiseks mõeldud lisarelva uurimisega - niinimetatud Euleri süsteemid, mille avastas 80ndatel iseseisvalt meie kaasmaalane Viktor Kolyvagin (töötanud juba pikka aega New Yorgi ülikoolis ) ja Tai.

Ja siin on uus test. Lõpetamata, kuid siiski väga muljetavaldav, teatas ta Wilesi töö tulemustest 1994. aasta augusti lõpus Zürichis toimunud rahvusvahelisele matemaatikute kongressile. Wiles võitleb kõvasti. Pealtnägijate sõnul kirjutas ta sõna otseses mõttes enne aruannet palavikuliselt midagi muud, püüdes olukorda "lõtvunud" tõenditega maksimaalselt parandada.

Pärast seda maailma juhtivate matemaatikute intrigeerivat publikut, Wilesi raportit, "hingab matemaatika kogukond rõõmsalt välja" ja aplodeerib kaastundlikult: okei, kutt, mis ka ei juhtuks, aga tal on teadused arenenud, mis näitab, et sellise ületamatu hüpoteesi lahendamisel on võimalik edukalt edasi, mida keegi pole kunagi varem teinud, ma isegi ei mõelnud seda teha. Teine fermatist Andrew Wiles ei suutnud ära võtta paljude matemaatikute salajast unistust Fermat’ teoreemi tõestamisest.

Wilesi tolleaegset seisundit on loomulik ette kujutada. Isegi kolleegide toetus ja sõbralik suhtumine ei suutnud kompenseerida tema psühholoogilist laastatud seisundit.

Ja nii, vaid kuu aega hiljem, kui Wiles kirjutab oma viimase Annalsi artikli sissejuhatuses koos lõpliku tõestusega: "Otsustasin heita veel viimase pilgu Euleri süsteemidele, püüdes seda tõestuse argumenti taaselustada", juhtus see. . Wilesil oli 19. septembril 1994 aimuvälgatus. Just sel päeval sai tõestuse tühimik täidetud.

Seejärel liikusid asjad kiires tempos. Juba loodud koostöö Richard Tayloriga Kolyvagini ja Thaini Euleri süsteemide uurimisel võimaldas oktoobris kahe suure paberi vormis tõestuse vormistada.

Nende avaldamine, mis täitis kogu ajakirja Annals of Mathematics numbri, järgnes 1994. aasta novembris. Kõik see põhjustas uue võimsa teabetulva. Wilesi tõestuse lugu pälvis USA-s entusiastliku ajakirjanduse, matemaatika fantastilise läbimurde autorist tehti film ja avaldati raamatuid. Ühes oma töö hinnangus märkis Wiles, et ta on leiutanud tuleviku matemaatika.

(Huvitav, kas see on nii? Märgime vaid, et kogu selle infotormiga tekkis terav kontrast Venemaal peaaegu nulli inforesonantsiga, mis kestab tänaseni).

Esitagem endale küsimus: mis on silmapaistvate tulemuste saavutamise "sisemine köök"? Huvitav on ju teada, kuidas teadlane oma tööd korraldab, millele ta selles keskendub ja kuidas oma tegevuse prioriteedid määrab. Mida saab selles mõttes Andrew Wilesi kohta öelda? Ja ootamatult selgub, et aktiivse teadusliku suhtluse ja kollektiivse tööstiili kaasaegsel ajastul oli Wilesil superprobleemide lahendamise stiilis oma nägemus.

Wiles saavutas oma fantastilise tulemuse intensiivse, pideva ja paljude aastate individuaalse töö põhjal. Selle tegevuse korraldus riigikeeles rääkides oli äärmiselt planeerimatu iseloomuga. Seda ei saaks kategooriliselt nimetada konkreetse toetuse raames toimuvaks tegevuseks, mille puhul on vaja regulaarselt aru anda ja jällegi iga kord planeerida, et teatud kuupäevaks teatud tulemused saavutada.

Selline ühiskonnaväline tegevus, mis ei hõlmanud otsest teaduslikku suhtlust kolleegidega isegi konverentsidel, näis olevat vastuolus kõigi kaasaegse teadlase töö kaanonitega.

Aga täpselt individuaalne töö, võimaldas meil minna kaugemale juba kehtestatud standardkontseptsioonidest ja meetoditest. Selline vormilt suletud ja samas sisult vaba tööstiil võimaldas leiutada uusi võimsaid meetodeid ja saada uuel tasemel tulemusi.

Wilesi ees seisev probleem (Taniyama-Shimura-Weili oletus) ei kuulunud isegi lähimate tippude hulka, mille kaasaegne matemaatika neil aastatel võitis. Samal ajal ei eitanud ükski spetsialist selle tohutut tähtsust ja nominaalselt kuulus see kaasaegse matemaatika "peavoolu".

Seega oli Wilesi tegevus selgelt ebasüsteemse iseloomuga ja tulemuseni jõudis tugev motivatsioon, andekus, loominguline vabadus, tahe, Princetonis töötamiseks enam kui soodsad materiaalsed tingimused ja mis kõige tähtsam – üksteisemõistmine perekonnas.

Wilesi tõestus, mis paistis välk selgest taevast, sai omamoodi proovikiviks rahvusvahelisele matemaatikakogukonnale. Isegi selle kogukonna kui terviku kõige edumeelsema osa reaktsioon osutus kummalisel kombel üsna neutraalseks. Pärast seda, kui esimese korra emotsioonid ja rõõm pärast märgilise tõendi ilmumist vaibusid, jätkasid kõik rahulikult oma äri. Aritmeetilise algebralise geomeetria spetsialistid uurisid aeglaselt oma kitsas ringis “võimsat tõestust”, ülejäänud aga kündsid oma matemaatilisi radu, lahknedes nagu varemgi, üksteisest aina kaugemale.

Proovime mõista seda olukorda, millel on nii objektiivsed kui ka subjektiivsed põhjused. Mittetaju objektiivsete tegurite juured on kummalisel kombel kaasaegse organisatsiooni struktuuris teaduslik tegevus. See tegevus on nagu liuväli, mis kulgeb mööda kaldteed ja omab kolossaalset inertsust: oma kool, oma paika pandud prioriteedid, oma rahastamisallikad jne. See kõik on väljakujunenud aruandlussüsteemi seisukohalt toetuse andjale hea, kuid raskendab pead tõstma ja ringi vaatama: mis on tegelikult oluline ja asjakohane teadusele ja ühiskonnale, mitte järgmise portsjonile. toetus?

Siis jällegi ei taha sa oma hubasest august välja tulla, kus kõik on nii tuttav, ja ronida teise, täiesti võõrasse auku. Mida sealt oodata, pole teada. Pealegi on ilmselgelt selge, et nad ei anna raha sissetungi eest.

On üsna loomulik, et ükski teadust korraldavatest bürokraatlikest struktuuridest ei ole selles erinevad riigid, sealhulgas Venemaa, ei ole teinud järeldusi mitte ainult Andrew Wilesi tõestuse fenomenist, vaid ka Grigory Perelmani sensatsioonilise tõestuse sarnasest fenomenist teise, samuti kuulsa matemaatilise probleemi kohta.

Matemaatilise maailma reaktsiooni "tuhandeaasta sündmusele" neutraalsuse subjektiivsed tegurid peituvad üsna proosalistel põhjustel. Tõestus on tõepoolest erakordselt keeruline ja pikk. Aritmeetilise algebralise geomeetria mittespetsialistile näib, et see koosneb kõige abstraktsemate matemaatikadistsipliinide terminoloogiast ja konstruktsioonidest. Tundub, et autor ei seadnud talle sugugi eesmärki, et teda mõistaksid võimalikult paljud huvitatud matemaatikud.

Paraku on see metodoloogiline keerukus viimaste aegade suurte tõestuste vältimatu kuluna (näiteks Grigory Perelmani hiljutise Poincaré oletuse tõestuse analüüs jätkub tänapäevani).

Tajumise keerukust suurendab veelgi asjaolu, et aritmeetiline algebraline geomeetria on matemaatika väga eksootiline alamvaldkond, mis tekitab raskusi isegi professionaalsetele matemaatikutele. Asja raskendas ka Wilesi tõestuse erakordne sünteetiline olemus, milles kasutati mitmesuguseid kaasaegseid tööriistu, mille on viimastel aastatel loonud suur hulk matemaatikuid.

Kuid me peame arvestama, et Wilesil ei olnud seletamise metodoloogilist ülesannet – ta konstrueeris uut meetodit. See, mis meetodis töötas, oli Wilesi enda geniaalsete ideede süntees ja eri matemaatikasuundade viimaste tulemuste konglomeraat. Ja just nii võimas struktuur rammis immutamatu probleemi. Tõend ei olnud õnnetus. Selle kristalliseerumise fakt oli täielikult kooskõlas nii teaduse arengu kui ka teadmiste loogikaga. Sellise ülitõestuse selgitamise ülesanne näib olevat täiesti sõltumatu, väga raske, kuigi paljutõotav probleem.

Saate seda ise tunda avalik arvamus. Proovige esitada küsimusi tuttavatele matemaatikutele Wilesi tõestuse kohta: kes sai aru? Kes mõistis vähemalt põhiideed? Kes tahtis aru saada? Kes arvas, et see on uus matemaatika? Vastused neile küsimustele tunduvad retoorilised. Ja tõenäoliselt ei kohta te palju inimesi, kes soovivad eriterminite palisaadist läbi murda ning uusi kontseptsioone ja meetodeid omandada, et lahendada vaid üks väga eksootiline võrrand. Ja miks on vaja seda kõike selle konkreetse ülesande nimel uurida?!

Lubage mul tuua teile üks naljakas näide. Paar aastat tagasi küsis kuulus prantsuse matemaatik, Fieldsi laureaat Pierre Deligne, algebralise geomeetria ja arvuteooria juhtiv spetsialist, kui autorilt küsiti Wilesi tõestuse ühe võtmeobjekti - nn. deformatsioonide ring” - ütles pärast pooletunnist järelemõtlemist, et see ei saanud selle objekti tähendusest täielikult aru. Tõestamisest on selleks hetkeks möödas juba kümme aastat.

Nüüd saame reprodutseerida vene matemaatikute reaktsiooni. Peamine reaktsioon on selle peaaegu täielik puudumine. Selle põhjuseks on peamiselt Wilesi "raske" ja "ebatavaline" matemaatika.

Näiteks klassikalises arvuteoorias ei leia nii pikki tõestusi kui Wilesi oma. Nagu arvuteoreetikud ütlevad, "tõend peaks olema lehekülje pikkune" (Wilesi tõestus koostöös Tayloriga ajakirja versioonis võtab 120 lehekülge).

Samuti ei saa te välistada hirmu tegurit oma hinnangu ebaprofessionaalsuse pärast: reageerides võtate vastutuse tõendite hindamise eest. Kuidas seda teha, kui te seda matemaatikat ei tunne?

Iseloomulik on otseste arvuteooria spetsialistide seisukoht: "... ja aukartust, põlevat huvi ja ettevaatust matemaatika ajaloo ühe suurima saladuse ees" (Paulo Ribenboimi raamatu eessõnast "Fermat'i viimane teoreem amatööridele" - ainus, mis täna on saadaval allikale otse Wilesi tõestusest tavalugejale.

Ühe kuulsaima kaasaegse vene matemaatiku, akadeemik V.I. Arnold on tõestuse suhtes “aktiivselt skeptiline”: see pole päris matemaatika – päris matemaatika on geomeetriline ja sellel on tugev seos füüsikaga. Veelgi enam, Fermat' probleem ise ei saa oma olemuselt genereerida matemaatika arengut, kuna see on "binaarne", st ülesande sõnastus nõuab vastust ainult "jah või ei" küsimusele. Samas matemaatiline töö Viimastel aastatel V.I ise Arnoldi tööd osutusid suures osas pühendatud variatsioonidele väga sarnastel arvuteoreetilistel teemadel. Võimalik, et Wilesist sai paradoksaalsel kombel selle tegevuse kaudne põhjus.

Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika-matemaatikateaduskonda ilmuvad aga tõestushuvilised. Märkimisväärne matemaatik ja populaarteadlane Yu.P. Solovjov (kes jättis meid enneaegselt) algatab E. Knappi elliptiliste kõverate raamatu tõlkimise. vajalik materjal Taniyama-Shimura-Weili oletuse järgi. Praegu Prantsusmaal töötav Aleksei Pantšiškin pidas 2001. aastal mehaanika-matemaatikateaduskonnas loenguid, mis olid aluseks tema vastavale osale Yu.I. Eespool mainitud suurepärase kaasaegse arvuteooria raamatu Manin (avaldatud vene keeles Sergei Gortšinski tõlkes Aleksei Paršini toimetamisel 2007).

Mõnevõrra üllatav on see, et Moskva Steklovi matemaatikainstituudis – Venemaa matemaatikamaailma keskuses – Wilesi tõestust seminaridel ei käsitletud, vaid seda uurisid ainult üksikud spetsialiseerunud eksperdid. Pealegi ei mõistetud juba täieliku Taniyama-Shimura-Weili oletuse tõestust (Wiles tõestas ainult selle osa, millest piisab Fermat' teoreemi tõestamiseks). Selle tõestuse esitas 2000. aastal terve meeskond välismatemaatikuid, sealhulgas Richard Taylor, Wilesi kaasautor Fermat' teoreemi tõestamise viimases etapis.

Samuti ei olnud kuulsate vene matemaatikute poolt Wilesi tõestuse kohta avalikke avaldusi, veel vähem arutelusid. Vene V. Arnoldi ("tõestamismeetodi skeptik") ja ameeriklase S. Langi ("tõestamismeetodi entusiast") vahel on üsna terav diskussioon, kuid läänes kaovad sellest jäljed. väljaandeid. Venemaa matemaatika keskajakirjanduses pole Wilesi tõestuse avaldamisest möödunud aja jooksul tõestuseteemalisi publikatsioone ilmunud. Võib-olla oli ainus selleteemaline väljaanne Kanada matemaatiku Henry Darmoni artikli tõlge, isegi tõestuse mittetäielik versioon, ajakirjas Advances in Mathematical Sciences 1995. aastal (naljakas, et täielik tõestus on juba avaldatud).

Selle "unise" matemaatilise tausta taustal, vaatamata Wilesi tõestuse ülimalt abstraktsele olemusele, lisasid mõned kartmatud teoreetilised füüsikud selle oma potentsiaalse huvi valdkonda ja hakkasid seda uurima, lootes varem või hiljem leida Wilesi matemaatika rakendusi. See ei saa jätta rõõmustama, kasvõi juba sellepärast, et see matemaatika on kõik need aastad olnud praktiliselt isolatsioonis.

Sellegipoolest jäi ja jääb väga aktuaalseks tõendite kohandamise probleem, mis süvendab selle rakendatavat potentsiaali äärmiselt teravalt. Praeguseks on Wilesi artikli ning Wilesi ja Taylori ühistöö originaaltekst juba kohandatud, kuigi ainult üsna kitsale professionaalsete matemaatikute ringile. Seda tegid mainitud Yu Manini ja A. Pantšiškini raamatus. Neil õnnestus algse tõestuse teatud kunstlikkus edukalt siluda. Lisaks lisas Ameerika matemaatik Serge Lang, Wilesi tõestuse tulihingeline propageerija (kes kahjuks suri 2005. aasta septembris), mõned tõestuse olulisemad konstruktsioonid oma klassikalise ülikooliõpiku Algebra kolmandasse väljaandesse.

Näitena algse tõestuse kunstlikkusest märgime, et üks eriti silmatorkav joon, mis sellist muljet loob, on üksikisiku eriline roll. algarvud, nagu 2, 3, 5, 11, 17, kui ka individuaalsed naturaalarvud, näiteks 15, 30 ja 60. Muuhulgas on üsna selge, et tõestus ei ole geomeetriline kõige tavalisemas mõttes. See ei sisalda loomulikke geomeetrilisi kujutisi, millele võiks teksti paremaks mõistmiseks kinnitada. Ülivõimas "terminologiseeritud" abstraktne algebra ja "arenenud" arvuteooria õõnestavad puhtpsühholoogiliselt tõendite tajumise võimet isegi kvalifitseeritud matemaatilise lugeja jaoks.

Jääb vaid imestada, miks sellises olukorras tõestuseksperdid, sealhulgas Wiles ise, seda ei „lihvi“, ei propageeri ega populariseeri ilmselget „matemaatilist hitti“ isegi oma matemaatikakogukonnas.

Lühidalt öeldes on tänapäeval Wilesi tõestuse fakt lihtsalt Fermat' teoreemi tõestuse fakt esimese õige tõestuse staatusega ja selles kasutatud "mingi ülivõimsa matemaatikaga".

Möödunud sajandi keskpaiga kuulus vene matemaatik, endine mehaanika-matemaatikateaduskonna dekaan V. V. rääkis väga selgelt võimsast, kuid veel rakendamata matemaatikast. Golubev:

“... F. Kleini teravmeelse märkuse kohaselt on paljud matemaatika osakonnad sarnased relvi tootvate ettevõtete uusimate relvamudelite näitustega; kogu leiutajate poolt sisse pandud mõistuse juures juhtub sageli, et kui hakkab tõeline sõda, osutuvad need uued tooted ühel või teisel põhjusel sobimatuks... Täpselt sama pilti esitab kaasaegne matemaatikaõpetus; õpilastele antakse väga arenenud ja võimsad tööriistad matemaatilised uuringud..., kuid siis ei suuda õpilased kanda aimugi, kus ja kuidas saab neid võimsaid ja geniaalseid meetodeid rakendada kogu teaduse põhiülesande lahendamisel: meid ümbritseva maailma mõistmisel ja inimese loomingulise tahte mõjul sellele. . Omal ajal A.P. Tšehhov ütles, et kui etenduse esimeses vaatuses ripub laval püss, siis on vaja, et vähemalt kolmandas vaatuses see tulistaks. See märkus on matemaatika õpetamisel täiel määral rakendatav: kui mingit teooriat õpilastele tutvustada, siis tuleb varem või hiljem näidata, milliseid rakendusi sellest teooriast saab teha eelkõige mehaanika, füüsika või tehnoloogia vallas ja muus valdkonnas. alad."

Oleks õiglane, kui Wilesi kindlustunne, et tema leiutatud matemaatika – uue taseme matemaatika – saaks kinnitust. Ja ma tõesti ei taha, et see tõesti väga ilus ja sünteetiline matemaatika saaks "tulistamata relva" saatuse.

Ja siiski, esitagem nüüd küsimus: kas Wilesi tõestust on võimalik kirjeldada laiale huvilisele publikule piisavalt arusaadavalt?

Ekspertide seisukohalt on see absoluutne utoopia. Kuid proovime siiski, juhindudes lihtsast kaalutlusest, et Fermat' teoreem on väide ainult meie tavalise kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi täisarvude kohta.

Asendame Fermat' võrrandisse järjestikku täisarvuliste koordinaatidega punktid.

Wiles leiab optimaalse mehhanismi täisarvude punktide ümberarvutamiseks ja nende testimiseks, et rahuldada Fermat' teoreemi võrrandit (pärast vajalike definitsioonide sisseviimist vastab selline ümberarvutus täpselt nn elliptiliste kõverate modulaarsusomadusele ratsionaalarvude väljal). , mida kirjeldab Taniyama-Shimura-Weili oletus).

Ümberarvutusmehhanismi optimeerib tähelepanuväärse avastuse abil saksa matemaatik Gerhard Frey, kes ühendas suvalise astendajaga Fermat' võrrandi potentsiaalse lahenduse teise, täiesti erineva võrrandiga. See uus võrrand on antud spetsiaalse kõveraga (nn Frey elliptiline kõver). See Frey kõver on antud väga lihtsa võrrandiga:

Frey idee üllatuseks oli üleminek probleemi arvuteoreetiliselt olemusest selle “varjatud” geomeetrilisele aspektile. Nimelt: Frey seostas iga Fermat' võrrandi lahendiga, see tähendab seost rahuldavate arvudega

Frey leiutis Wilesi "alguse" ajal oli üsna värske (aasta 1985) ja kajastas ka suhteliselt hiljutist lähenemist prantsuse matemaatikule Helleguarche'ile (1970. aastad), kes tegi ettepaneku kasutada elliptiliste kõverate abil lahendusi Diofantiuse võrranditele, st. võrrandid, mis on sarnased Fermat' võrrandiga.

Proovime nüüd vaadelda Frey kõverat teisest vaatenurgast, nimelt kui vahendit täisarvuliste punktide ümberarvutamiseks eukleidilises ruumis. Teisisõnu, meie Frey kõver mängib valemi rolli, mis määrab sellise ümberarvutamise algoritmi.

Selles kontekstis võime öelda, et Wiles leiutab tööriistad (spetsiaalsed algebralised konstruktsioonid) selle ümberarvutamise juhtimiseks. Tegelikult moodustab see Wilesi peen tööriistakomplekt tõestuse keskse tuuma ja peamise keerukuse. Just nende instrumentide valmistamisel tekivad Wilesi peamised keerukad algebralised avastused, mida on nii raske mõista.

Kuid siiski on tõestuse kõige ootamatum mõju võib-olla ainult ühe "Freevi" kõvera kasutamise piisavus, mida esindab täiesti lihtne, peaaegu "kooli" sõltuvus. Üllataval kombel piisab ainult ühe sellise kõvera kasutamisest, et testida kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi kõiki punkte täisarvuliste koordinaatidega, et näha, kas need vastavad suvalise astendajaga Fermat' viimase teoreemiga.

Teisisõnu, ainult ühe kõvera kasutamine (kuigi sellel on konkreetne vorm), mis on arusaadav tavalisele keskkooliõpilasele, osutub samaväärseks algoritmi (programmi) konstrueerimisega tavalise kolmemõõtmelise ruumi tervete punktide järjestikuseks ümberarvutamiseks. Ja mitte lihtsalt ümberarvutus, vaid ümberarvutus koos kogu punkti samaaegse testimisega, et kontrollida, kas see on Fermat' võrrandiga rahul.

Just siin kerkib esile Pierre de Fermat’ enda fantoom, kuna sellise ümberarvutamise käigus ärkab ellu see, mida tavaliselt nimetatakse Fermat’ „Ferma’t laskumiseks“ ehk reduktsiooniks (või „lõpmatu laskumise meetodiks“).

Selles kontekstis saab kohe selgeks, miks Fermat ise ei suutnud oma teoreemi objektiivsetel põhjustel tõestada, kuigi ta võis hästi "näha" selle tõestuse geomeetrilist ideed.

Fakt on see, et ümberarvutamine toimub matemaatiliste tööriistade kontrolli all, millel pole analooge mitte ainult kauges minevikus, vaid ka tänapäevases matemaatikas tundmatuid enne Wilesi.

Siin on kõige olulisem, et need tööriistad oleksid “minimaalsed”, s.t. neid ei saa lihtsustada. Kuigi see “minimalism” on iseenesest väga raske. Ja see oli Wilesi teadlikkus sellest mittetriviaalsest "minimaalsusest", mis sai tõestamise otsustavaks viimaseks sammuks. Täpselt selline "puhang" oli 19. septembril 1994.

Mõni probleem, mis tekitab rahulolematust, jääb siia siiski alles – Wiles seda minimaalset konstruktsiooni otseselt ei kirjelda. Seetõttu on Fermat' probleemi huvilistel endiselt huvitav töö- selle "minimaalsuse" selge tõlgendus on vajalik.

Võimalik, et just siin peaks peituma “algebriseeritud” tõestuse geomeetria. Võimalik, et just seda geomeetriat tundis ka Fermat, kui ta tegi oma traktaadi kitsas servas kuulsa sissekande: "Ma leidsin tõeliselt tähelepanuväärse tõendi ...".

Liigume nüüd otse virtuaalse eksperimendi juurde ja proovime “kaevuda” matemaatik-juristi Pierre de Fermat’ mõtetesse.

Fermat’ nn väikese teoreemi geomeetrilist kujutist võib kujutada ringina, mis veereb mööda sirget “libisemata” ja “keerab” enda ümber terveid punkte. Fermat' väikese teoreemi võrrand selles tõlgenduses saab ka füüsilise tähenduse – sellise liikumise jäävuse seaduse tähenduse ühemõõtmelises diskreetses ajas.

Võite proovida neid geomeetrilisi ja füüsilisi kujutisi üle kanda olukorda, kus probleemi mõõde (number võrrandi muutujad) suureneb ja Fermat' väikese teoreemi võrrand muundub Fermat' suure teoreemi võrrandiks. Nimelt: oletame, et Fermat’ viimase teoreemi geomeetriat esindab kera, mis veereb mööda tasapinda ja “keerab” terveid punkte sellel tasapinnal enda ümber. On oluline, et see rullimine ei oleks suvaline, vaid "perioodiline" (matemaatikud ütlevad ka "tsüklotoomiline"). Veeremise perioodilisus tähendab, et veereva sõiduki lineaar- ja nurkkiiruse vektorid on maksimaalsed üldiselt sfäärid korduvad suuruse ja suunaga pärast teatud kindlat aega (perioodi). See perioodilisus sarnaneb perioodilisusega lineaarne kiirus ringi veeremine mööda sirgjoont, modelleerides “väikest” Fermat’ võrrandit.

Vastavalt sellele omandab "suur" Fermat' võrrand kera ülalmainitud liikumise jäävuse seaduse tähenduse juba kahemõõtmelises diskreetses ajas. Võtame nüüd selle kahemõõtmelise aja diagonaali (just selles etapis peitub kogu raskus!). See äärmiselt keeruline ja osutub ainsaks diagonaaliks on Fermat' viimase teoreemi võrrand, kui võrrandi astendaja on täpselt kaks.

Oluline on märkida, et ühemõõtmelises olukorras - Fermat' väikese teoreemi olukorras - pole sellist diagonaali vaja leida, kuna aeg on ühemõõtmeline ja pole põhjust diagonaali võtta. Seetõttu võib muutuja aste Fermat' väikese teoreemi võrrandis olla meelevaldne.

Nii saame üsna ootamatult silla Fermat’ suure teoreemi “füüsilisele” ehk selle füüsilise tähenduse ilmnemisele. Kuidas saab mitte meenutada, et Fermat’le polnud füüsika võõras.

Muide, ka füüsika kogemus näitab, et ülaltoodud tüüpi mehaaniliste süsteemide jäävuse seadused on ülesande füüsikalistes muutujates ruutkesksed. Ja lõpuks on see kõik üsna kooskõlas koolist tuntud Newtoni mehaanika energia jäävuse seaduste ruutstruktuuriga.

Fermat' viimase teoreemi ülaltoodud "füüsilise" tõlgenduse seisukohalt vastab "minimaalsuse" omadus säilivusseaduse astme minimaalsusele (see on kaks). Ja Fermat' ja Wiles'i taandamine vastab punktide ümberarvutamise jäävusseaduste taandamisele kõige lihtsama vormi seadusele. Seda nii geomeetriliselt kui ka algebraliselt kõige lihtsamat (minimaalset keerukust) ümberarvutamist kujutab sfääri veeremine tasapinnal, kuna kera ja tasapind on "minimaalsed", nagu me täiesti mõistame, kahemõõtmelised geomeetrilised objektid.

Kogu keerukus, mis esmapilgul puudu jääb, seisneb selles, et sellise pealtnäha “lihtsa” kera liikumise täpne kirjeldamine pole sugugi lihtne. Fakt on see, et sfääri "perioodiline" veeremine "neelab" meie kolmemõõtmelise ruumi niinimetatud "peidetud" sümmeetriaid. Need varjatud sümmeetriad on põhjustatud sfääri lineaarse ja nurkliikumise mittetriviaalsetest kombinatsioonidest (kompositsioonidest) – vt joonis 1.

Joonisel 1 näidatud geomeetrilises tõlgenduses sfääri keskpunkti lineaarne liikumine “loestab” terveid tasapinna punkte ja selle nurk- (või pöörlemis-) liikumine annab ümberarvutuse ruumilise (või vertikaalse) komponendi. Kera suvalises mööda tasapinda veeremises ei saa kera pöörlevat liikumist kohe “näha”. Täpselt nii pöörlev liikumine ja vastab ülalmainitud eukleidilise ruumi varjatud sümmeetriatele.

Eespool tutvustatud Frey kõver "kodeerib" täpselt kõige esteetiliselt kaunima ruumi tervete punktide ümberarvutuse, mis meenutab liikumist mööda keerdtreppi. Tõepoolest, kui järgite kõverat, mida sfääri teatud punkt ühe perioodi jooksul pühib, avastate, et meie märgitud punkt pühib joonisel fig. 2, mis meenutab "topeltruumilist sinusoidi" - graafiku ruumilist analoogi. Seda ilusat kõverat võib tõlgendada kui Frey (st) Frey kõvera "miinimum" graafikut. See on meie testimise ümberarvutamise ajakava.

Olles ühendanud selle pildi assotsiatiivse tajumise, avastame oma üllatuseks, et meie kõveraga piiratud pind on hämmastavalt sarnane DNA molekuli pinnaga - bioloogia "nurga telliskiviga"! Võib-olla pole juhus, et Singhi raamatus Fermat's Last Theorem on kasutatud Wilesi tõestuse DNA-d kodeerivate konstruktsioonide terminoloogiat.

Rõhutame veel kord, et meie tõlgenduses on määravaks asjaolu, et Fermat’ väikese teoreemi jäävusseaduse analoog (selle aste võib olla meelevaldselt suur) osutub Fermat’ Suure teoreemi võrrandiks just juhul . Just see "kera tasapinnal veeremise jäävusseaduse astme minimaalsuse" efekt vastab Fermat' viimase teoreemi väitele.

Nüüd ehitame silla kaasaegse füüsika juurde. Siin välja pakutud Wilesi tõestuse geomeetriline kujutis on väga lähedane kaasaegse füüsika geomeetriale, mis püüab jõuda gravitatsiooni olemuse - kvant - mõistatuseni. üldine teooria suhtelisus. Selle esmapilgul ootamatu Fermat' viimase teoreemi ja suure füüsika vastasmõju kinnitamiseks kujutame ette, et veerev kera on massiivne ja "tõukab" tasapinna selle alla. Selle "tõukamise" tõlgendus joonisel fig. 3 meenutab silmatorkavalt Einsteini üldrelatiivsusteooria tuntud geomeetrilist tõlgendust, mis kirjeldab täpselt "gravitatsiooni geomeetriat".

Ja kui võtta arvesse ka meie pildi praegust diskreetsust, mida kehastab tasapinnal paiknev diskreetne täisarvuvõre, siis me tegelikult vaatleme "kvantgravitatsiooni" oma silmaga!

Nüüd tuleks ehk rõhutada, et igal juhul, olenemata Fermat’ teoreemi õigest tõestusest, peab see ühel või teisel viisil kasutama Wilesi tõestuse konstruktsioone ja loogikat. Sellest kõigest on lihtsalt võimatu mööda hiilida Wilesi tõestamiseks kasutatud matemaatiliste tööriistade mainitud "minimaalsusomaduse" tõttu. Meie selle tõendi "geomeetrilis-dünaamilises" tõlgenduses tagab see "minimaalsusomadus" "minimaalse vajalikud tingimused» testimisalgoritmi õigeks (st “konvergentseks”) konstrueerimiseks.

Ühest küljest on see harrastustalunikele suur pettumus (kui nad muidugi sellest teada saavad; nagu öeldakse: “mida vähem tead, seda paremini magad”). Teisest küljest muudab Wilesi tõestuse loomulik "lihtsustamatus" ametlikult professionaalsete matemaatikute elu lihtsamaks - nad ei pruugi lugeda amatöörmatemaatikast perioodiliselt esile kerkivaid "elementaarseid" tõestusi, viidates Wilesi tõestusega vastavuse puudumisele.

Üldine järeldus on, et mõlemad peavad "pingutama" ja mõistma seda "metsiku" tõendit, mõistma sisuliselt "kogu matemaatikat".

Mida kõike seda veel kokku võttes ei tohi kahe silma vahele jätta? ainulaadne lugu, mille tunnistajaks oleme olnud? Wilesi tõestuse tugevus seisneb selles, et see ei ole lihtsalt formaalne loogiline argument, vaid esindab laiaulatuslikku ja võimsat meetodit. See looming ei ole eraldiseisev tööriist ühe tulemuse tõestamiseks, vaid suurepärane komplekt hästi valitud tööriistu, mis võimaldab teil "lahtistada" mitmesuguseid probleeme. Samuti on põhimõtteliselt oluline, et kui vaatame pilvelõhkuja kõrguselt alla Wilesi tõestust, näeme kogu eelnevat matemaatikat. Paatos on see, et see ei ole "lapitöö", vaid panoraamne nägemus. Kõik see ei räägi mitte ainult selle tõeliselt maagilise tõendi teaduslikust, vaid ka metodoloogilisest järjepidevusest. Järele jääb vaid "ei midagi" - lihtsalt mõistke seda ja õppige seda rakendama.

Huvitav, mida meie kaasaegne kangelane Wiles täna teeb? Andrew kohta erilisi uudiseid pole. Loomulikult pälvis ta mitmesuguseid auhindu ja auhindu, sealhulgas kuulsa, mis esimese ajal odavnes kodusõda Saksa Wolfskehli auhind. Kogu selle aja eest, mis on möödunud Fermat’ probleemi tõestuse võidukäigust kuni täna, õnnestus mul samas “Annals” (kaasautor Skinneriga) märgata vaid üht, kuigi nagu alati suurt artiklit. Võib-olla peidab Andrew end taas uue matemaatilise läbimurde ootuses, näiteks nn abc hüpoteesi, mis on hiljuti sõnastatud (Masser ja Oesterle 1986. aastal) ja mida peetakse kõige olulisemaks. peamine probleem arvuteooria tänapäeval (see on "sajandi probleem" Serge Langi sõnadega).

Palju rohkem teavet Wilesi kaasautori kohta tõendi viimases osas, Richard Tayloris. Ta oli üks neljast Taniyama-Shmura-Weili täieliku oletuse tõestuse autorist ja oli tugev kandidaat Fieldsi medalile 2002. aasta Hiina matemaatikakongressil. Seda ta aga ei saanud (siis said selle ainult kaks matemaatikut - Princetoni vene matemaatik Vladimir Voevodsky "motiivide teooria eest" ja prantslane Laurent Laforgue "eest oluline osa Langlandsi programm). Taylor avaldas selle aja jooksul märkimisväärse hulga tähelepanuväärseid teoseid. Ja hiljuti saavutas Richard uue suure edu - ta tõestas väga kuulsat oletust - Tate-Saito oletust, mis on samuti seotud aritmeetilise algebralise geomeetriaga ja saksa keele tulemuste üldistamisega. 19. sajandi matemaatik G. Frobenius ja 20. sajandi vene matemaatik N. Chebotarev.

Unistame lõpuks natuke. Võib-olla saabub aeg, mil matemaatikakursused ülikoolides ja isegi koolides kohandatakse Wilesi tõestusmeetoditega. See tähendab, et Fermat' viimasest teoreemist saab mitte ainult matemaatikamudel, vaid ka matemaatika õpetamise metoodiline mudel. Tema näitel on võimalik õppida tegelikult kõiki matemaatika põhiharusid. Veelgi enam, tulevane füüsika ja võib-olla isegi bioloogia ja majandus hakkavad sellele matemaatilisele aparaadile toetuma. Aga kui?

Tundub, et esimesed sammud selles suunas on juba tehtud. Sellest annab tunnistust näiteks tõsiasi, et Ameerika matemaatik Serge Lang lisas Wilesi tõestuse põhikonstruktsioonid oma klassikalise algebra käsiraamatu kolmandasse väljaandesse. Venelased Juri Manin ja Aleksei Pantšiškin lähevad oma mainitud uues väljaandes veelgi kaugemale Kaasaegne teooria numbrid”, milles on üksikasjalikult välja toodud tõestus tänapäeva matemaatika kontekstis.

Ja kuidas saab nüüd mitte hüüda: Fermat' suurepärane teoreem on "surnud" - elagu Wilesi meetod!

Andrew Wiles on Princetoni ülikooli matemaatikaprofessor, ta tõestas Fermat' viimast teoreemi, millega teadlaste põlvkonnad on sadu aastaid võidelnud.

30 aastat ühe ülesandega

Wiles sai esimest korda teada Fermat' viimasest teoreemist, kui ta oli kümneaastane. Ta peatus koolist koju minnes raamatukogus ja sattus Eric Temple Belli raamatu "The Final Problem" lugemisse. Võib-olla isegi teadmata, pühendas ta sellest hetkest oma elu tõendite otsimisele, hoolimata asjaolust, et see oli miski, mis oli planeedi parimate meelte eest kolm sajandit kõrvale hiilinud.

Wiles sai Fermat' viimasest teoreemist teada, kui ta oli kümneaastane

Ta leidis selle 30 aastat hiljem pärast seda, kui teine ​​teadlane Ken Ribet tõestas Jaapani matemaatikute Taniyama ja Shimura teoreemi seost Fermat' viimase teoreemiga. Erinevalt oma skeptilistest kolleegidest sai Wiles kohe aru, et see oli kõik, ja seitse aastat hiljem pani ta tõestusele lõpu.

Tõestusprotsess ise osutus väga dramaatiliseks: Wiles lõpetas oma töö 1993. aastal, kuid kohe avaliku esinemise ajal leidis ta oma arutluskäigus olulise "lünga". Arvutustes vea leidmiseks kulus kaks kuud (viga oli peidetud võrrandi lahenduse 130 prinditud lehekülje vahele). Seejärel tehti poolteist aastat pingelist tööd vea parandamiseks. Kogu Maa teadusringkond oli kaotusseisus. Wiles lõpetas oma töö 19. septembril 1994 ja esitles seda kohe avalikkusele.

Hirmutav hiilgus

Andrew suurim hirm oli kuulsus ja avalikkus. Ta keeldus väga pikka aega televisioonis esinemast. Arvatakse, et John Lynch suutis teda veenda. Ta kinnitas Wilesile, et suudab inspireerida uut põlvkonda matemaatikuid ja näidata avalikkusele matemaatika jõudu.

Andrew Wiles keeldus pikka aega televisioonis esinemast

Veidi hiljem hakkas tänulik seltskond Andrew’d auhindadega premeerima. Nii sai Wiles 27. juunil 1997 Wolfskehli auhinna, mille suurus oli ligikaudu $ 50 000. See on palju vähem, kui Wolfskehl kavatses sajand varem lahkuda, kuid hüperinflatsioon viis selle summa vähenemiseni.

Kahjuks ei läinud Nobeli preemia matemaatiline vaste, Fieldsi auhind, lihtsalt Wilesile, kuna seda antakse alla neljakümneaastastele matemaatikutele. Selle asemel sai ta oma tähtsa saavutuse auks Fieldsi medali tseremoonial spetsiaalse hõbeplaadi. Wiles võitis ka prestiižne auhind Wolf, King Faisali auhind ja paljud teised rahvusvahelised auhinnad.

Kolleegide arvamused

Ühe kuulsaima kaasaegse vene matemaatiku, akadeemik V. I. Arnoldi reaktsioon tõestusele on "aktiivselt skeptiline":

See ei ole päris matemaatika – tõeline matemaatika on geomeetriline ja sellel on tugev seos füüsikaga. Veelgi enam, Fermat' probleem ise ei saa oma olemuselt genereerida matemaatika arengut, kuna see on "binaarne", st ülesande sõnastus nõuab vastust ainult "jah või ei" küsimusele.

Samas osutusid V. I. Arnoldi enda viimaste aastate matemaatilised tööd suures osas pühendatud variatsioonidele väga sarnastel arvuteoreetilistel teemadel. Võimalik, et Wilesist sai paradoksaalsel kombel selle tegevuse kaudne põhjus.

Tõeline unistus

Kui Andrew’lt küsitakse, kuidas tal õnnestus istuda nelja seina vahel rohkem kui 7 aastat ühte ülesannet tehes, räägib Wiles, kuidas ta unistas oma töö ajal, etSaabub aeg, mil matemaatikakursused ülikoolides ja isegi koolides kohandatakse tema teoreemi tõestamise meetodile. Ta soovis, et Fermat' viimase teoreemi tõestusest ei saaks mitte ainult matemaatikamudel, vaid ka matemaatika õpetamise metoodiline mudel. Wiles kujutas ette, et tema eeskujul on võimalik uurida kõiki matemaatika ja füüsika põhiharusid.

4 daami, kelleta poleks tõestust

Andrew on abielus ja tal on kolm tütart, kellest kaks sündisid "tõenduse esimese mustandi seitsmeaastase protsessi käigus".

Wiles ise usub, et ilma pereta poleks ta hakkama saanud.

Nende aastate jooksul teadis ainult Andrew naine Nada, et ta tormas üksi matemaatika kõige kättesaamatul ja kuulsamal tipul. Just neile, Nadyale, Claire’ile, Kate’ile ja Oliviale, on pühendatud Wilesi kuulus lõpuartikkel “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem” keskses matemaatikaajakirjas “Annals of Mathematics”, kus avaldatakse olulisemad matemaatilised tööd. Wiles ise ei eita aga sugugi, et ilma pereta poleks ta hakkama saanud.

Niisiis, Fermat' viimane teoreem (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks), mille sõnastas 1637. aastal geniaalne prantsuse matemaatik Pierre Fermat, on oma olemuselt väga lihtne ja arusaadav kõigile, kellel on keskharidus. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n = c astmel n ei ole loomulikke (st mitte murdosa) lahendeid n > 2 jaoks. Kõik tundub lihtne ja selge, kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimisega rohkem kui kolm ja pool sajandit.

OSLO, 15. märts. /Korr. TASS Juri Mihhailenko/. Britt Andrew Wiles kuulutati Norra Teaduste Akadeemia poolt välja antava Abeli ​​auhinna võitjaks. Aupreemia, mida sageli nimetatakse "matemaatikute Nobeli preemiaks", anti talle Fermat' viimase teoreemi tõestamise eest 1994. aastal, mis "käivitas arvuteoorias uue ajastu".

"Wilesi tutvustatud uued ideed avasid võimaluse edasiseks läbimurdeks," ütles Abeli ​​komitee esimees Jon Rognes. "Vähestel matemaatilistel probleemidel on nii rikas teaduslik ajalugu ja nii suurejooneline tõestus kui Fermat' viimane teoreem."

Sir Andrew teaduslik teekond

Rognes täpsustas Norra telegraafibüroole antud kommentaarides ka, et kuulsa teoreemi tõestamine oli vaid üks põhjusi, miks Wiles tänavu auhinnale kandideerinud kandidaatide hulka valiti.

"Teoreemi lahendamiseks, mida ei suudetud 350 aastat tõestada, kasutas ta lähenemisviise kahest kaasaegsest valdkonnast matemaatikateadus, uurides eelkõige poolstabiilseid elliptilisi kõveraid, ütles Rognes ajakirjanikele. "Sellist matemaatikat kasutatakse näiteks elliptilises krüptograafias, mis kaitseb plastkaartidega tehtud maksete andmeid."

Teadlane, kes järgmine kuu saab 63-aastaseks, hariduse Oxfordi ja Cambridge'i ülikoolides. Tema isa oli anglikaani vaimulik ja oli Cambridge'i teoloogiaprofessor enam kui 20 aastat. Wiles ise töötas 30 aastat USA-s, õpetades Princetoni ülikoolis ning juhtis aastatel 2005–2009 sealset matemaatikaosakonda. Praegu töötab ta Oxfordis. Ta on võitnud tosin matemaatikaauhinda ning teadussaavutuste eest lõi ta rüütliks ka Suurbritannia kuninganna Elizabeth II poolt.

Petlik lihtsus

Prantslase Pierre Fermat’ (1601 - 1665) sõnastatud teoreemi eripära on petlikult lihtsas sõnastuses: võrrand “A astmele n pluss B astmele n võrdub C-ga n-i astmega. ” ei oma loomulikke lahendeid, kui arv n on suurem kui kaks. Esmapilgul viitab see üsna lihtsale tõendile, kuid tegelikult osutub see täiesti erinevaks.

Wiles ise tunnistas paljudes intervjuudes, et teoreem huvitas teda 10-aastaselt. Juba siis oli tal lihtne probleemi tingimustest aru saada ja teda kummitas tõsiasi, et kolme sajandi jooksul polnud ükski matemaatik suutnud seda lahendada. Lapsepõlve hobi pole aastatega tuhmunud. Olles juba teinud teaduskarjääri, veetis Wiles vabal ajal aastaid lahenduse kallal vaeva nägema, kuid ei reklaaminud seda, kuna kolleegide seas peeti kirge Fermat' teoreemi vastu halvaks kombeks. Ta pakkus välja oma tõestuse, mis põhines kahe Jaapani teadlase hüpoteesil, ja avaldas selle 1993. aastal, kuid paar kuud hiljem avastati tema arvutustes viga.

Rohkem kui aasta üritas Wiles koos oma õpilastega seda parandada, andes lõpuks peaaegu alla, kuid lõpuks leidis siiski tõendi, mis tunnistati õigeks. Samas pole seni leitud väidetavalt olemasolevat lihtsat ja elegantset tõestust, mida Fermat ise mainis.

Kes oli Henrik Abel

Aastatel 2014 ja 2009 olid Abeli ​​preemia laureaadid Venemaa matemaatikakooli õpilased - vastavalt Yakov Sinai ja Mihhail Gromov. Auhind on nime saanud kuulsa norralase Niels Henrik Abeli ​​järgi. Temast sai elliptiliste funktsioonide teooria rajaja ja ta andis märkimisväärse panuse seeriateooriasse.

Vaid 26 aastat elanud teadlase 200. sünniaastapäeva auks eraldas Norra valitsus 2002. aastal 200 miljonit krooni (praeguse vahetuskursi järgi umbes 23,4 miljonit dollarit) Abeli ​​fondi ja Abeli ​​auhinna loomiseks. Selle eesmärk on mitte ainult tähistada silmapaistvate matemaatikute teeneid, vaid ka aidata kaasa selle teadusharu populaarsuse kasvule noorte seas.

Täna on auhinna rahaline komponent 6 miljonit krooni (700 tuhat dollarit). Ametlik auhinnatseremoonia peaks toimuma 24. mail. Aumärgi annab laureaadile üle Norra troonipärija prints Haakon Magnus.

Maailmas pole palju inimesi, kes poleks kunagi kuulnud Fermat' viimasest teoreemist – võib-olla on see ainus matemaatika ülesanne, mis sai nii laialt tuntuks ja sai tõeliseks legendiks. Seda mainitakse paljudes raamatutes ja filmides ning peaaegu kõigi mainimiste põhikontekst on teoreemi tõestamise võimatus.

Jah, see teoreem on väga tuntud ja mõnes mõttes muutunud amatöör- ja professionaalsete matemaatikute poolt kummardatavaks "iidoliks", kuid vähesed teavad, et selle tõestus leiti ja see juhtus 1995. aastal. Aga kõigepealt asjad kõigepealt.

Niisiis, Fermat' viimane teoreem (mida sageli nimetatakse ka Fermat' viimaseks teoreemiks), mille sõnastas 1637. aastal geniaalne prantsuse matemaatik Pierre Fermat, on oma olemuselt väga lihtne ja arusaadav kõigile, kellel on keskharidus. See ütleb, et valemil a astmel n + b astmel n = c astmel n ei ole loomulikke (st mitte murdosa) lahendeid n > 2 jaoks. Kõik tundub lihtne ja selge, kuid parimad matemaatikud ja tavalised amatöörid võitlesid lahenduse otsimisega rohkem kui kolm ja pool sajandit.

Miks ta nii kuulus on? Nüüd saame teada...

Kas on palju tõestatud, tõestamata ja veel tõestamata teoreeme? Asi on selles, et Fermat' viimane teoreem esindab suurimat kontrasti sõnastuse lihtsuse ja tõestuse keerukuse vahel. Fermat' viimane teoreem on uskumatult keeruline ülesanne, kuid selle sõnastust saavad aru kõik, kes on keskkooli 5. klassis, kuid isegi mitte iga professionaalne matemaatik ei saa tõestusest aru. Ei füüsikas, keemias, bioloogias ega matemaatikas pole ühtegi probleemi, mida saaks nii lihtsalt sõnastada, kuid mis jäi nii kauaks lahendamata. 2. Millest see koosneb?

Alustame Pythagorase pükstest Sõnastus on tõesti lihtne – esmapilgul. Nagu me lapsepõlvest teame, on Pythagorase püksid igast küljest võrdsed. Ülesanne tundub nii lihtne, sest see põhines matemaatilisel väitel, mida kõik teavad – Pythagorase teoreemil: mis tahes täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusile ehitatud ruut jalgadele ehitatud ruutude summaga.

5. sajandil eKr. Pythagoras asutas Pythagorase vennaskonna. Pythagoraslased uurisid muu hulgas täisarvu kolmikuid, mis rahuldasid võrdsust x²+y²=z². Nad tõestasid, et Pythagorase kolmikuid on lõpmatult palju, ja said nende leidmiseks üldvalemid. Tõenäoliselt üritasid nad otsida C-d ja kõrgemaid kraadi. Olles veendunud, et see ei õnnestunud, jätsid pütagoorlased oma kasutud katsed maha. Vennaskonna liikmed olid rohkem filosoofid ja esteedid kui matemaatikud.

See tähendab, et on lihtne valida arvude komplekti, mis rahuldavad ideaalselt võrdsust x²+y²=z²

Alates 3, 4, 5 - tõepoolest, noorem õpilane mõistab, et 9 + 16 = 25.

Või 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Suurepärane.

Seega selgub, et nad EI OLE. Siit see trikk algab. Lihtsus on näiline, sest raske on tõestada mitte millegi olemasolu, vaid, vastupidi, selle puudumist. Kui teil on vaja tõestada, et lahendus on olemas, saate ja peaksite lihtsalt selle lahenduse esitama.

Puudumise tõestamine on keerulisem: näiteks keegi ütleb: sellisel ja sellisel võrrandil pole lahendeid. Kas panna ta lompi? lihtne: bam – ja siin see on, lahendus! (anna lahendus). Ja ongi kõik, vastane on võidetud. Kuidas puudumist tõendada?

Öelge: "Ma pole selliseid lahendusi leidnud"? Või äkki sa ei näinud hea välja? Mis siis, kui need on olemas, ainult väga suured, väga suured, nii et isegi ülivõimsal arvutil pole ikka veel piisavalt jõudu? See on see, mis on raske.

Seda saab visuaalselt näidata järgmiselt: kui võtta kaks sobiva suurusega ruutu ja lahti võtta need ühikruutudeks, siis sellest ühikruutude hunnikust saad kolmanda ruudu (joonis 2):


Kuid teeme sama ka kolmanda dimensiooniga (joonis 3) – see ei tööta. Kuubikuid pole piisavalt või on neid veel üle:

Kuid 17. sajandi matemaatik prantslane Pierre de Fermat uuris entusiastlikult üldvõrrandit x n + y n = z n. Ja lõpuks jõudsin järeldusele: n>2 korral pole täisarvulisi lahendusi. Fermat' tõestus on pöördumatult kadunud. Käsikirjad põlevad! Alles on jäänud vaid tema märkus Diophantose aritmeetikas: "Leidsin selle väite kohta tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid siin on veerised selle mahutamiseks liiga kitsad."

Tegelikult nimetatakse ilma tõestuseta teoreemi hüpoteesiks. Kuid Fermatil on maine, et ta ei tee kunagi vigu. Isegi kui ta ei jätnud avalduse kohta tõendeid, kinnitati see hiljem. Veelgi enam, Fermat tõestas oma väitekirja n = 4 jaoks. Seega läks prantsuse matemaatiku hüpotees ajalukku Fermat’ viimase teoreemina.

Pärast Fermat'i otsisid tõestust sellised suured mõtted nagu Leonhard Euler (1770. aastal pakkus ta välja lahenduse n = 3 jaoks),

Adrien Legendre ja Johann Dirichlet (need teadlased leidsid 1825. aastal ühiselt n = 5 tõestuse), Gabriel Lamé (kes leidis tõestuse n = 7 kohta) ja paljud teised. Eelmise sajandi 80. aastate keskpaigaks sai selgeks, et teadusmaailm on teel Fermat' viimase teoreemi lõpliku lahenduseni, kuid alles 1993. aastal nägid matemaatikud ja uskusid, et kolme sajandi eepos otsis tõestust Fermat' viimane teoreem oli praktiliselt läbi.

On lihtne näidata, et piisab Fermat' teoreemi tõestamisest ainult lihtsa n korral: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Liitarvu n korral jääb tõestus kehtima. Algarve on aga lõpmatult palju...

1825. aastal tõestasid naismatemaatikud, Dirichlet ja Legendre Sophie Germaini meetodil iseseisvalt teoreemi n=5 korral. 1839. aastal näitas prantslane Gabriel Lame sama meetodit kasutades teoreemi tõesust n=7 korral. Järk-järgult tõestati teoreem peaaegu kõigi n alla saja kohta.

Lõpuks näitas saksa matemaatik Ernst Kummer hiilgavas uuringus, et teoreemi üldiselt ei saa 19. sajandi matemaatika meetoditega tõestada. 1847. aastal Fermat’ teoreemi tõestamise eest asutatud Prantsuse Teaduste Akadeemia auhind jäi välja andmata.

1907. aastal otsustas jõukas Saksa tööstur Paul Wolfskehl õnnetu armastuse tõttu endalt elu võtta. Nagu tõeline sakslane, määras ta enesetapu kuupäeva ja kellaaja: täpselt südaööl. Viimasel päeval tegi ta testamendi ja kirjutas sõpradele ja sugulastele kirju. Asjad lõppesid enne südaööd. Peab ütlema, et Paulust huvitas matemaatika. Kuna tal polnud muud teha, läks ta raamatukokku ja hakkas lugema Kummeri kuulsat artiklit. Ühtäkki tundus talle, et Kummer on oma arutluskäigus vea teinud. Wolfskel asus seda artikliosa pliiats käes analüüsima. Kesköö on möödas, hommik on kätte jõudnud. Tõestuse lünk on täidetud. Ja enesetapu põhjus tundus nüüd täiesti naeruväärne. Paul rebis oma hüvastijätukirjad katki ja kirjutas testamendi ümber.

Varsti suri ta loomulikel põhjustel. Pärijad olid üsna üllatunud: 100 000 marka (praegu üle 1 000 000 naelsterlingi) kanti Göttingeni Kuningliku Teadusliku Seltsi arvele, mis samal aastal kuulutas välja konkursi Wolfskehli auhinnale. 100 000 marka määrati Fermat' teoreemi tõestajale. Teoreemi ümberlükkamise eest ei antud pfennigi...

Enamik professionaalseid matemaatikuid pidas Fermat' viimase teoreemi tõestuse otsimist lootusetuks ülesandeks ja keeldusid otsustavalt aega raiskamast sellisele kasutule ülesandele. Aga amatööridel oli tore. Mõni nädal pärast teadet tabas Göttingeni ülikooli "tõendite" laviin. Professor E.M. Landau, kelle ülesanne oli analüüsida saadetud tõendeid, jagas oma õpilastele kaarte:

Kallis. . . . . . . .

Täname, et saatsite mulle käsikirja koos Fermat' viimase teoreemi tõestusega. Esimene viga on lehel ... reas... . Selle tõttu kaotab kogu tõend oma kehtivuse.
Professor E. M. Landau

1963. aastal tõestas Paul Cohen Gödeli leidudele toetudes ühe Hilberti kahekümne kolmest probleemist – kontiinuumhüpoteesi – lahendamatust. Mis siis, kui Fermat' viimane teoreem on samuti otsustamatu?! Kuid tõelised Suure teoreemi fanaatikud polnud sugugi pettunud. Arvutite tulek andis matemaatikutele ootamatult uue tõestusmeetodi. Pärast Teist maailmasõda tõestasid programmeerijate ja matemaatikute meeskonnad Fermat' viimast teoreemi kõigi väärtuste jaoks n kuni 500-ni, seejärel kuni 1000-ni ja hiljem kuni 10 000-ni.

1980. aastatel tõstis Samuel Wagstaff piiri 25 000-ni ja 1990. aastatel kuulutasid matemaatikud, et Fermat' viimane teoreem kehtib kõigi n väärtuste puhul kuni 4 miljonini. Aga kui lahutada lõpmatusest kasvõi triljon triljon, siis see väiksemaks ei muutu. Statistika matemaatikuid ei veena. Suure teoreemi tõestamine tähendas selle tõestamist KÕIGI n jaoks, mis lähevad lõpmatuseni.

1954. aastal alustasid kaks noort Jaapani matemaatikust sõpra modulaarsete vormide uurimist. Need vormid genereerivad arvuseeriaid, millest igaühel on oma seeria. Juhuslikult võrdles Taniyama neid seeriaid elliptiliste võrrandite abil genereeritud seeriatega. Nad sobisid! Kuid moodulvormid on geomeetrilised objektid ja elliptilised võrrandid on algebralised. Nii erinevate objektide vahel pole kunagi seost leitud.

Pärast hoolikat testimist esitasid sõbrad aga hüpoteesi: igal elliptilisel võrrandil on kaksik - modulaarne vorm ja vastupidi. Just sellest hüpoteesist sai kogu matemaatika suuna vundament, kuid kuni Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamiseni võib kogu hoone igal hetkel kokku kukkuda.

1984. aastal näitas Gerhard Frey, et Fermat' võrrandi lahenduse, kui see on olemas, saab kaasata mõnda elliptilisesse võrrandisse. Kaks aastat hiljem tõestas professor Ken Ribet, et sellel hüpoteetilisel võrrandil ei saa olla moodulmaailmas vastet. Nüüdsest oli Fermat' viimane teoreem lahutamatult seotud Taniyama-Shimura oletusega. Olles tõestanud, et iga elliptiline kõver on modulaarne, järeldame, et Fermat' võrrandi lahendusega elliptilist võrrandit pole olemas ja Fermat' viimane teoreem oleks kohe tõestatud. Kuid kolmkümmend aastat ei õnnestunud Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestada ja edu loota jäi aina vähem.

1963. aastal, kui ta oli kõigest kümneaastane, oli Andrew Wiles juba matemaatikast vaimustuses. Kui ta sai teada Suurest teoreemist, mõistis ta, et ei saa sellest loobuda. Koolipoisina, üliõpilasena ja magistrandina valmistas ta end selleks ülesandeks ette.

Saanud teada Ken Ribeti leidudest, sukeldus Wiles ülepeakaela Taniyama-Shimura hüpoteesi tõestamisse. Ta otsustas töötada täielikus isolatsioonis ja salajas. "Sain aru, et kõik, mis on seotud Fermat' viimase teoreemiga, tekitab liiga suurt huvi... Ilmselgelt segab liiga palju pealtvaatajaid eesmärgi saavutamist." Seitse aastat rasket tööd tasus end ära, Wiles sai lõpuks Taniyama-Shimura oletuse tõestuse.

1993. aastal esitas inglise matemaatik Andrew Wiles maailmale oma tõestuse Fermat’ viimase teoreemi kohta (Wiles luges oma sensatsioonilist ettekannet Cambridge’i Sir Isaac Newtoni Instituudi konverentsil.), mille kallal töötamine kestis üle seitsme aasta.

Ajakirjanduses jätkus haira, alustati tõsist tööd tõendite kontrollimisega. Iga tõendit tuleb hoolikalt uurida, enne kui tõendeid saab lugeda rangeks ja täpseks. Wiles veetis rahutu suve, oodates arvustajatelt tagasisidet, lootes, et tal õnnestub nende heakskiit võita. Eksperdid leidsid augusti lõpus, et kohtuotsus ei ole piisavalt põhjendatud.

Selgus, et see otsus sisaldab jämedat viga, kuigi üldiselt on see õige. Wiles ei andnud alla, kutsus appi kuulsa arvuteooria spetsialisti Richard Taylori ja juba 1994. aastal avaldasid nad teoreemi parandatud ja laiendatud tõestuse. Kõige hämmastavam on see, et see töö võttis matemaatikaajakirjas “Annals of Mathematics” koguni 130 (!) lehekülge. Kuid sellega lugu ei lõppenud ka - lõpp-punkti jõuti alles järgmisel, 1995. aastal, mil avaldati tõestuse lõplik ja matemaatilisest aspektist “ideaalne” versioon.

“...pool minutit pärast piduliku õhtusöögi algust tema sünnipäeva puhul esitasin Nadyale täieliku tõendi käsikirja” (Andrew Wales). Kas ma pole veel öelnud, et matemaatikud on imelikud inimesed?

Seekord polnud tõendites kahtlust. Kaht artiklit analüüsiti kõige hoolikamalt ja need avaldati 1995. aasta mais ajakirjas Annals of Mathematics.

Sellest hetkest on palju aega möödas, kuid ühiskonnas on endiselt levinud arvamus, et Fermat’ viimane teoreem on lahendamatu. Kuid isegi need, kes teavad leitud tõestusest, jätkavad tööd selles suunas – vähesed on rahul sellega, et Suur teoreem nõuab 130-leheküljelist lahendust!

Seetõttu visatakse nüüd paljude matemaatikute (peamiselt amatööride, mitte professionaalsete teadlaste) jõupingutused lihtsa ja ülevaatliku tõestuse otsimisele, kuid see tee ei vii tõenäoliselt kuhugi...

allikas