Algebralise materjali uurimise meetodid matemaatika algkursusel. Algebra elemendid algkoolis

9.3.1. Mõiste "Monoom" tutvustamise meetod ja selle arvulise väärtuse leidmise võime kujundamine.

Algteadmiste hulka kuuluvad algebraavaldise, algebraavaldiste korrutise, kordaja (numbriline ja tähestikuline) mõisted; oskustele - algebralise avaldise kirjutamine selle elementide järgi, antud algebralise avaldise elementide esiletõstmine.

Teadmiste värskendamine toimub harjutuste kaudu.

1. Valige sellest komplektist sellised algebralised avaldised, mis on mitme teguri korrutised: a) 5 a 2 b; b) (7 ab 2 + alates 2):(5m 2 n); kell 8; d) 5 a 6 bb 4 a; e) ; f) g)

Määratud tingimus on täidetud algebraliste avaldistega: 5 a 2 b; 8; 5a 6 bb 4 a; ; Tõenäoliselt ei nimeta õpilased nõutavate algebraavaldiste hulgas 8; ; kuigi mõned võivad arvata, mida saab kujutada kui s. Olles võtnud mitu algebraavaldist, tuleks harjutada nende arvuliste tegurite, sõnaliste tegurite eraldamist, uute avaldiste kirjutamist antud algebraavaldiste järgi.

2. Kirjutage uus algebraline avaldis, kasutades avaldisi 3 a 2 b ja a. Õpilaste võimalikud vastused: 3 a 2 b+ a; 3a 2 b– a; 3a 2 b a; 3a 2 b: a.

3. Millised järgmistest avaldistest on monooomid: a) 5 a 3 bcb 4; b) a; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:n; e) - 5 a 6 b c 2; e) - a 3; g) h) - mnx. Nimetage monomialide numbrilised ja tähestikulised kordajad.

4. Kirjutage üles mitu algebralist avaldist, mis on monomiaalid.

5. Kirjutage üles mitu monomi, mis erinevad ainult arvulise koefitsiendi poolest.

6. Täida lüngad: a) 12 a 3 b 4= 2a… b 2; b) - 24 m 2 b 7 p 6= 24bp …

7. Sõnalise sõnastuse asemel kirjuta algebralised avaldised: a) arvude topeltkorrutis a ja b; b) kolmekordne arvu ruudu korrutis a ja numbrid b.

8. Selgita väljendeid: a) 2 a b; b) a 5b.

Näiteks väljend a 5b saab seletada kui: 1) arvude korrutis a, 5 ja b;2) arvude korrutis a ja 5 b;3) külgedega ristküliku pindala a ja 5 b.

7. ja 8. tüüpi harjutused aitavad kaasa ka võrrandite abil tekstiülesannete lahendamise meetodi valdamisele, kuna sõnaliste formulatsioonide tõlkimine numbrite ja tähtede keelde ning algebraliste väljendite verbaalne tõlgendamine on võrrandite abil ülesannete lahendamise meetodi olulised komponendid. .

9. Leia monoomi arvväärtus: 1) 5 mnx juures m= 3, n= ; x=8; 2) (– 0,25)a b juures a=12; b=8. Selliste harjutuste sooritamisel tuleks eriõpilastele tähelepanu juhtida vajadusele kasutada arvutuste ratsionaliseerimiseks aritmeetiliste tehete omadusi ja seaduspärasusi.

Harjutuste korraldus võib olla erinev: lahendus tahvli juures, iseseisev lahendus, kommenteeritud lahendus, harjutuste samaaegne täitmine tahvlil nõrkade õpilaste kaasamisel ja tugevate õpilaste iseseisev töö jne.

Kodutöö jaoks saate kasutada harjutusi numbrite kirjutamiseks standardvormis, mis on motiiviks järgmises õppetunnis monomi tüüpvormi kontseptsiooni tutvustamiseks.

9.3.2. Teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine teemal: "Progressid".

Algteadmiste reprodutseerimine ja korrigeerimine võib toimuda tabeli täitmise harjutuste kaudu, millele järgneb tulemuste arutelu.

Pange tähele, et aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid on näide materjalide uurimisest sarnastes olukordades, seega peaksid vastandamise ja võrdlemise meetodid võtma progressiooni käsitlevate teadmiste süstematiseerimisel olulise koha. Võtmeküsimuste arutamine põhineb erinevuste põhjuste selgitamisel ja levikutel levinud.

Arutelu küsimused.

AGA). Nimeta aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni definitsiooni struktuuris ühine ja erinev.

B). Määratlege lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.

AT). Mis on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa? Kirjutage üles selle valem.

G). Kuidas tõestada, et antud jada on aritmeetiline (geomeetriline) progressioon?

D). Kasutage noolte abil linke näidatud definitsioonide, valemite vahel (joonis 7):

a	a n = a n -1 + d		a 1 , a 2 , … …		a n \u003d a l + d (n-1)
			a n, d
	a n = (a n -1 + a n +1)		Aritmeetilise progressiooni märk		S n = (a 1 + a 2) n

3. Kirjutage üles kõik definitsioonid, valemid teemal "Geomeetriline progressioon" ja märkige nendevahelised sõltuvused.

2. ja 3. harjutust saab pakkuda õpilastele iseseisvaks sooritamiseks, millele järgneb tulemuste arutelu kõigi klassi õpilastega. Harjutust 2 saab teha kollektiivselt ja harjutust 3 võib pakkuda iseseisva tööna.

Üldistava tunni järgmised etapid viiakse ellu harjutuste abil, mille elluviimine eeldab põhifaktide analüüsi ja kasutamist, mis toob kaasa uusi seoseid ja seoseid õpitud mõistete ja teoreemide vahel.

4. Sisestage arvude 4 ja 9 vahele positiivne arv, nii et saate geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget. Sõnastage ja lahendage sarnane ülesanne seoses aritmeetilise progressiooniga.

5. Määrake arvud a 1, a 2, a 3 ja a 4, kui a 1, a 2, a 3 on geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed ja a 1, a 3 ja a 4– aritmeetiline progressioon ja a 1 + a 4= 14, a 2 + a 3 = 12.

7. Kas kolm positiivset arvu võivad olla samaaegselt aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget?

8. Kas on võimalik väita, et aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid on funktsioonid? Kui jah, siis mis tüüpi funktsioonidesse need kuuluvad?

9. On teada, et a n = 2n+1 on aritmeetiline progressioon. Mis on selle progressiooni ja lineaarfunktsiooni graafikutel ühist ja erinevat f(X) = 2x+1?

10. Kas on võimalik määrata jadasid, mis on
nii aritmeetilised kui ka geomeetrilised progressioonid?

Harjutuste sooritamise vormid võivad olla erinevad: harjutuste sooritamine tahvli ääres, otsuse kommenteerimine jne. Mõnda ülaltoodud harjutust saavad õpilased sooritada ka iseseisvalt ning nende elluviimine toimub sõltuvalt õpilaste võimalustest, kasutades puuduvaid ridu sisaldavaid kaarte või juhiseid nende teostamiseks. Ilmselt, mida madalamad on õpilase võimed, seda ulatuslikum peaks tema jaoks olema soovituste kogum (juhised rakendamiseks).

9.3.3. Teadmiste, oskuste ja vilumuste testimine, hindamine ja korrigeerimine teemal: "Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine".

Õpilaste faktilise materjali tundmise kontrollimine, põhimõistete olemuse selgitamise oskus viiakse läbi vestluse käigus, millele järgnevad harjutused.

Küsimused vestluseks

1. Sõnasta reegel kahe samade märkidega arvu korrutamiseks. Too näiteid.

2. Sõnasta reegel kahe erineva märgiga arvu korrutamiseks. Too näiteid.

3. Mis on mitme arvu korrutis, kui üks neist on null? Millistel tingimustel a b= 0?

4. Mis on toode a(-üks)? Too näiteid.

5. Kuidas toode muutub, kui ühe teguri märk muutub?

6. Sõnasta korrutamise kommutatiivne seadus.

7. Kuidas on sõnastatud korrutamise assotsiatiivne seadus?

8. Kirjutage tähtede abil üles korrutamise kommutatiivsed ja assotsiatiivsed seadused.

9. Kuidas leida kolme, nelja ratsionaalarvu korrutist?

10. Õpilane, sooritades korrutise 0,25 15 15 (–4) leidmise harjutust, kasutas järgmist tegevuste jada: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Millised seadused kas ta kasutas?

11. Millist algebralise avaldise tegurit nimetatakse koefitsiendiks?

12. Kuidas leida korrutise koefitsienti, milles on mitu tähestikulist ja numbrilist tegurit?

13. Mis on avaldise koefitsient: a; – a; ab; - ab?

14. Sõnasta korrutamise jaotusseadus. Kirjutage see tähtedega üles.

15. Millised terminid algebraline summa nimetatakse sarnaseks?

16. Selgitage, mida tähendab sarnaste terminite toomine.

17. Selgitage, milliste seaduste abil toimub avaldises 5.2 sarnaste terminite taandamine ja- 8a - 4,8ja- 2a.

18. Milline on reegel ratsionaalarvude jagamisel samade märkidega?

19. Milline on reegel ratsionaalarvude jagamisel erinevate märkidega?

20. Millal on kahe ratsionaalarvu jagatis võrdne nulliga?

21. Millises järjekorras tehakse ühistegevusi ratsionaalarvudega?

Mõned küsimused võivad olla kollektiivse arutelu objektiks, teised - õpilaste vastastikuse kontrolli lehed, mõne küsimuse põhjal on võimalik läbi viia matemaatilist dikteerimist jne.

Järgnev harjutussari on suunatud õpilaste oskuste jälgimisele, hindamisele ja korrigeerimisele. Võimalikud on erinevad harjutuste sooritamise vormid: iseseisev lahendus, millega kaasneb õpilaste enesekontroll, kommenteeritud lahendus, harjutuste sooritamine tahvlil, suuline küsitlus jne. See seeria hõlmab kahte harjutuste rühma. Esimene rühm ei nõua vaimse tegevuse teostamiseks rekonstrueerivat olemust, teise rühma rakendamine hõlmab õpitava teema teadmiste ja oskuste rekonstrueerimist.

1. Millised järgmistest võrdsustest on tõesed?

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Vali õige vastus.

Vastus: 1); 2); 3); neli); tõelist võrdsust pole olemas.

2. Tehke arvutusi tegemata kindlaks, milline toode on positiivne:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Vastus: 1); 2); 3); neli).

3. Määrake avaldised, millel on võrdsed koefitsiendid:

1) 9äss ja 3 x(4y); 2) (–3) (–8cb) ja 4 X 6y;

3) abs ja 2,75 xy; 4) 3,15abs ja 0,001 abs.

4. Milline väljenditest sisaldab sarnaseid termineid:

1) 7a– 12ab+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh - 0,5;

3) 3Koos – 2,7hus – ;4) 72ab- ab + 241?

Täpsustage õige vastus.

Vastus: 1); 2); neli); sarnaseid termineid sisaldavaid väljendeid pole.

5. Märkige õiged võrrandid: : (–18.2

3. Valige arvude hulgast suurim ja väikseim arv
a,a 2 ,a 3 ,a 4 , a 5 , a 6 , a 7 kl a = – 5, a = 3.

4. Lihtsustage väljendit:

1) – X(y - 4) – 2(hu– 3) – 3X; 2) a(b + 3) – 3(2 – ab) + a.

Ülaltoodud ülesannete kogum ja nende järjestus hõlmavad kõiki teadmiste omandamise tasemeid. Kogu ülesannete komplekti täitmine vastab teadmiste ja oskuste kvalitatiivsele assimilatsioonile ning seda võib hinnata kui "suurepärane". Esimese rühma harjutused vastavad teadmiste ja oskuste assimilatsioonile nende rakendamise tasemel olukordades, mis ei nõua teadmiste ja oskuste rekonstrueerimist. Õiged vastused küsimustele iseloomustavad teadmiste assimilatsiooni taastootmise tasandil. Hinde "rahuldav" võib panna õpilasele, kes on sooritanud enamuse esimese rühma harjutustest. Hinne “hea” vastab õigesti sooritatud enamusele esimese ja teise rühma harjutustest.

Ülesanded

1. Valige põhikooli algebra parandus- ja arenduskursuse jaoks konkreetne teema. Uurige programmi ja õpiku vastavaid jaotisi. Tuvastage teema uurimise metoodilised tunnused. Töötada välja teema õpetamise metoodika killud. Valmistage õpilaste teadmiste parandamiseks kaartide komplekt.

2. Osalege mitmes algebratunnis ühes teie piirkonna VII tüüpi spetsiaalses (parandus-)asutuses. Analüüsige ühte õppetundi selle kasvatusliku, parandusliku-arendava, kasvatusliku ja praktilise suunitluse seisukohalt.

3. Matemaatika õpetamise üheks eesmärgiks on matemaatilise kultuuri kujundamine. Arvutuskultuur on matemaatilise kultuuri üks komponente. Pakkuge välja oma tõlgendus mõistele "arvutuskultuur". Millistes eriõpilastele matemaatika õpetamise etappides, mis sisu õpetamisel on võimalik ja kohane seada eesmärgiks “arvutuskultuuri kujundamine”? Plii konkreetne näide vastava ülesannete süsteemiga. Koostage eriõpilaste klassivälise lugemise jaoks arvu mõiste väljatöötamist käsitleva kirjanduse loetelu. Määrake, millistes klassides saab seda kasutada.

10. PEATÜKK.

(kell 8)

Plaan:

1. Algebralise materjali uurimise eesmärgid in Põhikool.

2. Algklassides uuritavate aritmeetiliste tehete omadused.

3. Numbriavaldiste ja toimingute sooritamise järjekorra reeglite õppimine:

Üks tellimus ilma sulgudeta;

Üks sulgudega tellimus;

Sulgudeta avaldised, sealhulgas 4 aritmeetilist tehtet, sulgudega.

4. Algklassides õpitud arvuliste võrratuste ja võrratuste analüüs (kahe arvu, arvu ja arvavaldise, kahe arvavaldise võrdlus).

5. Muutujaga tähestikuliste sümbolite kasutuselevõtt.

6. Võrrandite uurimise metoodika:

a) anda võrrandi definitsioon (matemaatika loengutest ja põhikooli matemaatikaõpikust);

b) tõsta esile kontseptsiooni ulatust ja sisu,

c) millist meetodit (abstraktne-deduktiivne või konkreetne-induktiivne) te seda mõistet tutvustate? Kirjeldage võrrandiga töötamise põhietappe.

Täitke ülesanded:

1. Selgitage muutujaga võrratuste kasutamise otstarbekust algklassides.

2. Valmista tunniks ette sõnum funktsionaalse propedeutika arendamise võimalusest õpilastes (läbi mängu, läbi ebavõrdsuse uurimise).

3. Valige õpilastele ülesanded "võrrandi" mõiste oluliste ja mitteoluliste omaduste täitmiseks.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Võrrandite lahendamine // Algkool. - 1983. - nr 3. - S. 78-79.

2. Ymanbekova P. Nähtavuse vahendid mõistete "võrdsus" ja "ebavõrdsus" kujunemisel // Algkool. - 1978. - nr 11. - S. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Toimingute järjekorrast aritmeetilises avaldises // Algkool. - 2000. - nr 2. - S. 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh.Ühtne lähenemine võrrandite ja võrratuste lahendamisele // Algkool. - 1989. - nr 8. - S. 83-86.

5. Nazarova I.N. Funktsionaalse sõltuvusega tutvumine probleemide lahendamise õpetamisel // Algkool. - 1989. - nr 1. - S. 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Mõne kohta levinud vead algebralise propedeutika küsimustega seotud õpilased // Algkool. - 1974. - nr 2. – S. 31.

Õppemetoodika üldised omadused

algebraline materjal

Algebralise materjali kasutuselevõtt matemaatika algkursusesse võimaldab valmistada õpilasi ette kaasaegse matemaatika põhimõistete nagu "muutuja", "võrrand", "ebavõrdsus" jne õppimiseks ning aitab kaasa arengule. laste funktsionaalne mõtlemine.

Teema põhimõisted on “väljend”, “võrdsus”, “ebavõrdsus”, “võrrand”.

Teema "Tuhat" õppimisel võetakse kasutusele mõiste "võrrand", kuid ettevalmistustöö õpilaste võrranditega tutvumiseks algab 1. klassist. Mõisted "väljendus", "väljendusväärtus", "võrdsus", "ebavõrdsus" sisalduvad õpilaste sõnavaras alates 2. klassist. Ebavõrdsuse lahendamist algklassides ei tutvustata.

Numbrilised avaldised

Matemaatikas mõistetakse avaldist kui jada, mis on teatud reeglite järgi konstantne matemaatilised sümbolid tähistades numbreid ja tehteid nendega. Väljendi näited: 7; 5+4; 5 (3+ sisse); 40: 5 + 6 jne.

Vormi 7 väljendid; 5+4; 10:5+6; (5 + 3) 10 nimetatakse arvulisteks avaldisteks, erinevalt avaldistest kujul 8 - a; (3 + sisse); 50: juurde, mida nimetatakse sõnasõnalisteks või muutuvateks avaldisteks.

Teema uurimise ülesanded

2. Tutvustada õpilasi numbritega tehte sooritamise järjekorra reeglitega ja vastavalt nendele arendada oskust leida arvväärtusi väljendid.

3. Tutvustada avaldiste identsete teisendustega aritmeetiliste tehete põhjal.

Tutvumismeetodil nooremad koolilapsed numbrilise avaldise mõistega saab eristada kolme etappi, mis hõlmavad tutvumist avaldistega, mis sisaldavad:

Üks aritmeetiline tehe (I etapp);

Kaks või enam ühe astme aritmeetilist tehtet (II etapp);

Kaks või enam erineva tasemega aritmeetilist tehtet (III etapp).

Kõige lihtsamate avaldistega - summa ja vahe - tutvustatakse õpilasi I klassis (10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel); kahe arvu korrutise ja jagatisega - II klassis.

Juba teemat “Kümme” uurides tuuakse õpilaste sõnavarasse aritmeetiliste tehete nimetused, mõisted “termin”, “summa”, “taandatud”, “lahutatud”, “erinevus”. Lisaks terminoloogiale peavad nad õppima ka mõningaid matemaatilise sümboolika elemente, eelkõige tegevusmärke (pluss, miinus); nad peavad õppima lugema ja kirjutama lihtsaid matemaatilisi avaldisi nagu 5 + 4 (arvude "viis" ja "neli" summa); 7 - 2 (erinevus numbrite "seitse" ja "kaks" vahel).

Kõigepealt tutvustatakse õpilastele mõistet "summa" liitmistoimingu tulemusel oleva arvu tähenduses ja seejärel väljendi tähenduses. Vormi 10 - 7, 9 - 6 jne lahutamise vastuvõtt. tuginedes teadmistele liitmise ja lahutamise suhetest. Seetõttu on vaja lapsi õpetada esitama arvu (vähendatud) kahe liikme summana (10 on arvude 7 ja 3 summa; 9 on arvude 6 ja 3 summa).

Kaht või enamat aritmeetilist tehtet sisaldavate avaldistega tutvuvad lapsed esimesel õppeaastal arvutustehnikate assimilatsiooniga ± 2, ± 3, ± 1. Nad lahendavad näiteid kujul 3 + 1 + 1, 6 - 1 - 1, 2 + 2 + 2 jne. Arvutades näiteks esimese avaldise väärtust, selgitab õpilane: "Lisa üks kolmele, saad neli, lisa neljale üks, saad viis." Sarnaselt selgitatakse ka vormi 6 - 1 - 1 jne näidete lahendust. Seega valmistuvad esimese klassi õpilased järk-järgult reegli sõlmimiseks ühe etapi toiminguid sisaldavates väljendites toimingute sooritamise järjekorra kohta. mis on üldistatud II astmes.

I klassis omandavad lapsed praktiliselt veel ühe toimingute sooritamise järjekorra reegli, nimelt toimingute sooritamise väljendites vormis 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3 jne.

Õpilaste teadmised toimingute sooritamise järjekorra reeglitest võetakse kokku ja tutvustatakse veel üht reeglit tegevuste sooritamise järjekorra kohta avaldistes, millel ei ole sulgusid ja mis sisaldavad erineva tasemega aritmeetilisi tehteid: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jaotus.

Uue toimingute järjekorra reegliga tutvumisel saab tööd korraldada erinevalt. Saate kutsuda lapsi reeglit õpikust lugema ja seda vastavate avaldiste väärtuste arvutamisel rakendama. Samuti võite kutsuda õpilasi arvutama näiteks avaldise väärtust 40 - 10: 2. Vastused võivad olla erinevad: mõne jaoks võrdub avaldise väärtus 15, teiste jaoks 35.

Pärast seda selgitab õpetaja: „Selleks, et leida väärtus avaldisele, millel ei ole sulgusid ja mis sisaldab liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise tehteid, tuleb järjekorras (vasakult paremale) sooritada esmalt korrutamise ja jagamise tehted. jagamine ning seejärel (ka vasakult paremale) liitmine ja lahutamine. Selles avaldises peate esmalt jagama 10 2-ga ja seejärel lahutama tulemuse 5 40-st. Avaldise väärtus on 35.

Algklassiõpilased tutvuvad tegelikult väljendite identsete teisendustega.

Avaldiste identne teisendus on etteantud avaldise asendamine teisega, mille väärtus võrdub antud avaldise väärtusega (terminit ja definitsiooni algklassiõpilastele ei anta).

Avaldiste teisendamisega kohtuvad õpilased alates 1. klassist seoses aritmeetiliste tehete omaduste uurimisega. Näiteks selliste näidete lahendamisel nagu 10 + (50 + 3) mugav viis lapsed põhjendavad seda nii: "Mugavam on liita kümneid kümnetele ja lisada tulemusele 60 3 ühikut. Panen kirja: 10 (50 + 3) \u003d (10 + 50) + 3 \u003d 63.

Täites ülesannet, milles on vaja täita kirje: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3 ..., selgitavad lapsed: “Vasakul korrutatakse arvude 10 ja 7 summa number 3, paremal, selle summa esimene liige 10 korrutatakse arvuga 3; võrdusmärgi säilitamiseks tuleb ka teine ​​liige 7 korrutada arvuga 3 ja liita saadud korrutised. Panen selle kirja järgmiselt: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Avaldiste teisendamisel teevad õpilased mõnikord vigu kujul (10 + 4) 3 = - 10 3 + 4. Seda tüüpi vigade põhjus on seotud varem omandatud teadmiste ebaõige kasutamisega (antud juhul reegli järgi näite lahendamisel summale arvu lisamine, milles summa tuleb arvuga korrutada). Selliste vigade vältimiseks võite pakkuda õpilastele järgmisi ülesandeid:

a) Võrrelge võrrandite vasakule küljele kirjutatud avaldisi. Kuidas nad on sarnased, kuidas nad erinevad? Selgitage, kuidas arvutasite nende väärtused:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Täida lüngad ja leia tulemus:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Võrrelge avaldisi ja pange nende vahele märk >,< или =:

(30 + 4) + 2 ... 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 ... 30 2 + 4 2.

d) Kontrollige arvutustega, kas järgmised võrdsused on tõesed:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Sõnasõnalised väljendid

Algklassides on kavas - tihedas seoses numeratsiooni ja aritmeetiliste tehete õppega - teha ettevalmistustööd muutuja tähenduse paljastamiseks. Selleks on matemaatikaõpikutes ülesandeid, kus muutujat tähistatakse “aknaga”. Näiteks ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Siin on oluline julgustada õpilasi proovima asendada "aknas" mitte ühte, vaid mitut numbrit kordamööda, kontrollides iga kord, kas kirje on õige.

Seega ð puhul< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Algklasside matemaatika õppekava lihtsustamiseks ja kättesaadavuse tagamiseks tähtsümboleid aritmeetikateadmiste üldistamise vahendina ei kasutata. Kõik tähetähised asendatakse sõnaliste formuleeringutega.

Näiteks seadmise asemel

Ülesanne on välja pakutud järgmisel kujul: „Suurendage arvu 3 4 korda; 5 korda; 6 korda; ... ".

Võrdsused ja ebavõrdsused

Algklassiõpilaste võrdsuste ja ebavõrdsusega tutvumine on seotud järgmiste ülesannete lahendamisega:

Õpetada, kuidas luua avaldiste vahel seost "suurem kui", "väiksem kui" või "võrdne" ja kirjutada võrdlustulemused märgi abil;

Nooremate kooliõpilaste arvulise võrdsuse ja ebavõrdsuse ideede kujundamise metoodika näeb ette järgmised tööetapid.

Esimesel etapil, esiteks koolinädalal, teevad esimese klassi õpilased harjutusi esemete komplektide võrdlemiseks. Siin on kõige otstarbekam kasutada üks-ühele kirjavahetuse loomise meetodit. Selles etapis pole võrdluse tulemusi veel sobivate suhtemärkidega kirja pandud.

II etapis võrdlevad õpilased numbreid, tuginedes esmalt objektide nähtavusele ja seejärel sellele arvude omadusele naturaalreas, mille järgi kahest erinevast arvust on suurem arv, mida hiljem loendamisel kutsutakse, ja arvu on väiksem, mida nimetatakse varem. Sel viisil loodud suhted fikseerivad lapsed vastavate märkide abil. Näiteks 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Samuti saate võrrelda väärtusi: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, kuna seal on rohkem detsimeetreid kui teises. Lisaks saab väärtusi esmalt väljendada ühe mõõtühikutes ja alles pärast seda võrrelda: 45 cm > 43 cm.

Sarnaseid harjutusi tutvustatakse juba 10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel. Kasulik on neid sooritada näiteks selgusest lähtuvalt: õpilased panevad vasakule lauale neli ringi, paremale neli kolmnurka. Selgub, et figuurid jagunevad võrdselt – igaüks neli. Nad panevad kirja võrdsuse: 4 \u003d 4. Seejärel lisavad lapsed vasakpoolsetele arvudele ühe ringi ja kirjutavad üles summa 4 + 1. Vasakul on rohkem arve kui paremal, mis tähendab 4 + 1\ u003e 4.

Võrrandi tehnikat kasutades liiguvad õpilased ebavõrdsusest võrdsuse poole. Näiteks asetatakse ladumislõuendile 3 seent ja 4 oravat. Seente ja oravate võrdseks tegemiseks võite: 1) lisada ühe seente (siis on 3 seeni ja 3 oravat).

Ladumislõuendil on 5 sõiduautot ja 5 veoautot. Selleks, et teil oleks rohkem autosid kui teistel, saate: 1) eemaldada ühe (kaks, kolm) autot (autod või veoautod) või 2) lisada ühe (kaks, kolm) autot.

Järk-järgult liiguvad lapsed väljendite võrdlemisel visualiseerimisele toetumiselt oma tähenduste võrdlemisele. See meetod on põhiklassides peamine. Avaldiste võrdlemisel saavad õpilased tugineda ka teadmistele: a) komponentide seos aritmeetilise tehte tulemusega: 20 + 5 * 20 + 6 (vasakule kirjutatakse arvude 20 ja 5 summa, summa Parempoolsetest numbritest 20 ja 6. Nende summade esimesed liikmed on samad , teine ​​vasakpoolne liitmine on väiksem kui teine ​​parempoolne liitmine, seega vasakpoolne summa on väiksem kui parempoolne summa : 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) aritmeetiliste tehete omadused: (5 + 2) 3 * 5 3 + 2 3 (vasakul korrutatakse arvude 5 ja 2 summa arvuga 3, paremal iga liikme korrutised korrutisega leitakse ja lisatakse number 3. Seega võite tärni asemele panna võrdusmärgi: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

Nendel juhtudel kasutatakse märgi õigsuse kontrollimiseks avaldiste väärtuste hindamist. Algklassides muutujaga võrratuste kirjutamiseks kasutatakse “akent”: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Esimesed seda tüüpi harjutused on kasulik sooritada arvuseeria alusel, millele viidates märkavad õpilased, et arv 2 on suurem kui üks ja null, mistõttu saab “aknasse” asendada numbrid 0 ja 1 (2 > ð) (2> 0, 2> 1 ).

Sarnaselt tehakse ka teisi aknaga harjutusi.

Peamine viis muutujaga ebavõrdsuse arvestamisel on valikumeetod.

Muutujate väärtuste hõlbustamiseks ebavõrdsuses tehakse ettepanek valida need teatud arvude seeriast. Näiteks võite soovitada välja kirjutada need numbrid seeriatest 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, mille puhul on õige kirje ð - 7< 5.

Selle ülesande täitmisel saab õpilane arutleda nii: „Asendame „aknas“ numbri 7: 7 miinus 7 on 0, 0 on väiksem kui 5, seega sobib arv 7. Asendage "aknasse" arv 8:8 miinus 7 on 1, 1 on väiksem kui 5, mis tähendab, et sobib ka arv 8 ... Asendage "aknasse" arv 12: 12 miinus 7 on 5, 5 vähem kui 5 on vale, siis arv 12 ei sobi . Kirjutamiseks ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Võrrandid

3. klassi lõpus tutvuvad lapsed vormi kõige lihtsamate võrranditega: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X 7 \u003d 42; neli · X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Laps peaks saama võrrandeid lahendada kahel viisil:

1) valikumeetod (kõige lihtsamal juhul); 2) aritmeetiliste tehete tundmatute komponentide leidmise reeglite rakendamisel põhineval viisil. Siin on näide võrrandi lahendi kirjutamisest koos kontrolli ja lapse arutluskäiguga selle lahendamisel:

"Võrrandis X– 9 = 4 x seisab vähendatud asemel. Tundmatu minuendi leidmiseks peate erinevusele lisama alamosa ( X\u003d 4 + 9.) Kontrollime: lahutame 13-st 9, saame 4. Saime õige võrdsuse 4 \u003d 4, mis tähendab, et võrrand oli õigesti lahendatud.

4. klassis saab lapsele lahendust tutvustada lihtsaid ülesandeid kuidas võrrandit kirjutada.

Sissejuhatus ................................................... . ................................................ .. ..... 2

I peatükk. Algebralise materjali uurimise üldteoreetilised aspektid algkoolis ................................... .............................................................. .............................. 7

1.1 Algebra elementide juurutamise kogemus algkoolis .................................. 7

1.2 Psühholoogilised alused algebraliste mõistete kasutuselevõtuks

algkoolis................................................ ................................ 12

1.3 Algebraliste mõistete päritolu probleem ja selle tähendus

õppeaine konstrueerimiseks ................................................ ...................... ....... kakskümmend

2.1 Haridus algkoolis vajaduste osas

Keskkool ................................................ ................................................................ .... 33

2.1 Mõistete võrdlemine (vastandamine) matemaatikatundides .... 38

2.3 Liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamise ühisõpe 48

III peatükk. Algebralise materjali õppimise praktika matemaatikatundides Rylski 4. keskkooli algklassides ................................. ...................... 55

3.1 Kasutamise põhjendus uuenduslikud tehnoloogiad(tehnoloogia

didaktiliste üksuste suurendamine) ................................................... ...... 55

3.2 Algebramõistetega tutvumise kogemusest I kooliastmes .... 61

3.3 Kehade liikumisega seotud probleemide lahendamise õppimine .................................. 72

Järeldus................................................................ .................................................. 76

Bibliograafiline loetelu.......................................................................... 79

Igas kaasaegses üldharidussüsteemis on matemaatika üks keskseid kohti, mis kahtlemata räägib selle teadmiste valdkonna ainulaadsusest.

Mis on kaasaegne matemaatika? Miks teda vaja on? Neid ja sarnaseid küsimusi esitavad lapsed sageli õpetajatele. Ja iga kord on vastus erinev, sõltuvalt lapse arengutasemest ja tema haridusvajadustest.

Sageli öeldakse, et matemaatika on tänapäeva teaduse keel. Sellel väitel näib aga olevat märkimisväärne viga. Matemaatika keel on nii laialt levinud ja nii sageli tõhus just seetõttu, et matemaatika ei ole sellele taandatav.

Silmapaistev vene matemaatik A.N. Kolmogorov kirjutas: "Matemaatika ei ole ainult üks keeltest. Matemaatika on keel pluss arutluskäik, see on nagu keel ja loogika koos. Matemaatika on mõtlemise tööriist. See koondab paljude inimeste täpse mõtlemise tulemused. matemaatika abiga saab üht arutlust teisega siduda ... Looduse ilmselge keerukus oma kummaliste seaduste ja reeglitega, millest igaüks võimaldab eraldi väga üksikasjalik selgitus on tegelikult tihedalt seotud. Kui aga matemaatikat kasutada ei taha, siis selles tohutus faktide mitmekesisuses ei näe sa, et loogika lubab liikuda ühelt teisele“(, lk 44).

Seega võimaldab matemaatika kujundada teatud mõtlemisvorme, mis on vajalikud meid ümbritseva maailma uurimiseks.

Praegu on üha enam märgatav ebaproportsionaalsus meie looduse tundmise taseme ja inimese, tema psüühika ja mõtteprotsesside mõistmise vahel. W. W. Sawyer märgib oma raamatus "Matemaatika eelmäng" (lk 7): "Võite õpetada õpilasi lahendama üsna palju erinevaid ülesandeid, kuid tõeline rahulolu saabub alles siis, kui suudame oma õpilastele üle kanda mitte ainult teadmisi, vaid meele paindlikkust, mis annaks neile tulevikus võimaluse mitte ainult iseseisvalt lahendada, vaid ka endale uusi ülesandeid püstitada.

Muidugi on siin teatud piirid, mida ei tasu unustada: palju määravad kaasasündinud võimed, andekus. Siiski on võimalik märkida terve rida tegureid, mis sõltuvad haridusest ja kasvatusest. Seetõttu on äärmiselt oluline anda õige hinnang hariduse avaratele kasutamata võimalustele üldiselt ja matemaatika haridus eriti.

Viimastel aastatel on olnud pidev suundumus matemaatiliste meetodite tungimisele sellistesse teadustesse nagu ajalugu, filoloogia, rääkimata keeleteadusest ja psühholoogiast. Seetõttu on isikute ring, kes oma järgnevas ametialane tegevus ehk rakendab matemaatikat, laiendab.

Meie haridussüsteem on korraldatud nii, et kool annab paljudele elus ainsa võimaluse matemaatilise kultuuriga ühineda, matemaatikas sisalduvaid väärtusi omandada.

Milline on matemaatika laiemalt ja koolimatemaatika konkreetselt mõju loomeinimese kasvamisele? Matemaatikatundides ülesannete lahendamise kunsti õpetamine annab meile erakordselt soodsa võimaluse õpilastes teatud mõtteviisi kujunemiseks. Uurimisvajadus arendab huvi mustrite vastu, õpetab nägema inimmõtte ilu ja harmooniat. See kõik on meie peas oluline elementüldine kultuur. Olulist mõju kujunemisele avaldab matemaatika käik erinevaid vorme mõtlemine: loogiline, ruumigeomeetriline, algoritmiline. Ükskõik milline loominguline protsess algab hüpoteesi püstitamisest. Matemaatika, sobiva õppekorraldusega, olles hea kool hüpoteeside püstitamiseks ja kontrollimiseks, õpetab meid võrdlema erinevaid hüpoteese, leidma parimat varianti, püstitama uusi ülesandeid ja otsima võimalusi nende lahendamiseks. Muuhulgas kujuneb tal ka metoodilise töö harjumus, ilma milleta pole mõeldav ükski loomeprotsess. Inimmõtlemise võimalusi maksimeerides on matemaatika selle kõrgeim saavutus. See aitab inimesel eneseteadvusel ja tema iseloomu kujunemisel.

See on vaid väike osa suurest põhjuste loetelust, miks matemaatikateadmised peaksid saama üldise kultuuri lahutamatuks osaks ning asendamatuks elemendiks lapse kasvatamisel ja hariduses.

Matemaatika (ilma geomeetriata) kursus meie 10-aastases koolis jaguneb tegelikult kolmeks põhiosaks: aritmeetika (I-V klass), algebra (VI-VIII klass) ja analüüsi elemendid (IX-X klass). Mis on sellise alajaotuse aluseks?

Loomulikult on igal neist osadest oma spetsiaalne "tehnoloogia". Nii seostatakse seda näiteks aritmeetikas mitme väärtusega arvude arvutustega, algebras - identsete teisendustega, logaritmiga, analüüsis - diferentseerimisega jne. Kuid millised on sügavamad alused, mis on seotud iga osa kontseptuaalse sisuga?

Järgmine küsimus puudutab kooliaritmeetika ja algebra (st kursuse esimese ja teise osa) eristamise aluseid. Aritmeetika hõlmab naturaalarvude (positiivsed täisarvud) ja murdude (algus- ja kümnendarvud) uurimist. Spetsiaalne analüüs näitab aga, et seda tüüpi numbrite kombineerimine ühes kooliaines on ebaseaduslik.

Fakt on see, et neil numbritel on erinevad funktsioonid: esimesed on seotud konto esemed, teine ​​- koos mõõtmine. See asjaolu on väga oluline, et mõista tõsiasja, et murdarvud (ratsionaalarvud) on ainult reaalarvude erijuht.

Suuruste mõõtmise seisukohalt, nagu märkis A.N. Kolmogorovi sõnul "ratsionaalarvude ja irratsionaalsete reaalarvude vahel nii sügavat erinevust ei ole. Pedagoogilistel põhjustel jäävad nad ratsionaalarvude juurde pikaks ajaks, kuna neid on lihtne murdudena kirjutada; siiski kasutatakse need oleksid kohe algusest peale pidanud viima reaalarvudeni kogu nende üldistuses" (), lk 9).

A.N. Kolmogorov pidas õigustatuks nii matemaatika arenguloo seisukohalt kui ka sisuliselt A. Lebesgue'i ettepanekut liikuda naturaalarvude õpetamisel koheselt reaalarvude päritolu ja loogilise olemuse juurde. Samal ajal, nagu märkis A.N. Kolmogorovi sõnul on "ratsionaal- ja reaalarvude konstrueerimise lähenemine suuruste mõõtmise seisukohalt sugugi vähem teaduslik kui näiteks ratsionaalarvude kasutuselevõtt "paaride" kujul. Kooli jaoks on aga see on vaieldamatu eelis“ (, lk 10).

Seega on loomulike (täis)arvude põhjal reaalne võimalus moodustada koheselt "arvu kõige üldisem mõiste" (A. Lebesgue terminoloogias), reaalarvu mõiste. Kuid programmi ülesehituse seisukohalt ei tähenda see enamat ega vähemat kui murdude aritmeetika kaotamist selle koolitõlgenduses. Üleminek täisarvudelt reaalarvudele on üleminek aritmeetikalt "algebrale", analüüsi aluse loomisele.

Need enam kui 20 aastat tagasi väljendatud ideed on aktuaalsed ka tänapäeval. Kas selles suunas on võimalik muuta matemaatika õpetamise struktuuri põhikoolis? Millised on matemaatika esmase õpetuse "algebraiseerimise" eelised ja puudused? Selle töö eesmärk on püüda vastata esitatud küsimustele.

Selle eesmärgi saavutamiseks tuleb lahendada järgmised ülesanded:

Algebraliste suurus- ja arvumõistete sissejuhatuse üldteoreetiliste aspektide käsitlemine algkoolis. See ülesanne on püstitatud töö esimeses peatükis;

Konkreetse metoodika uurimine nende mõistete õpetamiseks algkoolis. Eelkõige tuleks siin käsitleda nn didaktiliste üksuste laienemise teooriat (UDE), millest tuleb juttu allpool;

Näidake vaadeldavate sätete praktilist rakendatavust koolitunnid matemaatika algkoolis (tunnid andis autor aastal Keskkool nr 4 Rylsk). See on töö kolmanda peatüki teema.

Seoses bibliograafiaga, mis on pühendatud see küsimus, võib märkida järgmist. Vaatamata sellele, et viimasel ajal kokku avaldatud matemaatika metoodilist kirjandust on äärmiselt vähe, töö kirjutamisel infopuudust ei tulnud. Tõepoolest, 1960. aastast (probleemi püstitamise aeg) kuni 1990. aastani. Meie riigis on avaldatud tohutul hulgal õppe-, teadus- ja metoodilist kirjandust, mis ühel või teisel määral mõjutab algebraliste mõistete kasutuselevõttu algkooli matemaatika kursuses. Lisaks käsitletakse neid küsimusi regulaarselt spetsiaalsetes perioodikaväljaannetes. Nii kasutati töö kirjutamisel suurel määral publikatsioone ajakirjades Pedagoogika, Matemaatika õpetamine Koolis ja Algkoolis.

1.1. Algebralise materjali uurimismeetodite üldküsimused.

1.2. Arvväljendite uurimise metoodika.

1.3. Kirjasõnaliste väljendite uurimine.

1.4. Arvuliste võrratuste ja võrratuste uurimine.

1.5. Võrrandite uurimise tehnika.

1.6. Lahendage võrrandeid kirjutades lihtsaid aritmeetilisi ülesandeid.

1.1. Algebralise materjali uurimise metoodika üldküsimused

Algebralise materjali sissetoomine matemaatika algkursusesse võimaldab valmistada õpilasi ette kaasaegse matemaatika põhimõistete (muutuja, võrrand, võrdsus, võrratus jne) õppimiseks, aitab kaasa aritmeetikateadmiste üldistamisele ning funktsionaalse mõtlemise kujundamine lastel.

Algkooliõpilased peaksid saama esmast teavet matemaatiliste avaldiste, arvuliste võrrandite ja võrratuste kohta, õppima lahendama õppekavas ette nähtud võrrandeid ja lihtsaid aritmeetilisi ülesandeid võrrandi koostamise teel (teoreetiline alus aritmeetilise tehte valikul, milles seos komponendid ja vastava aritmeetilise tehte tulemus0.

Algebralise materjali uurimine toimub tihedas seoses aritmeetilise materjaliga.

1.2. Arvväljendite uurimise metoodika

Matemaatikas mõistetakse avaldist teatud reeglite järgi üles ehitatud matemaatiliste sümbolite jadana, mis tähistab numbreid ja nendega tehteid.

Väljendid nagu: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numbrilised avaldised; tüüp: 8-a; 30:in; 5+(3+s) - sõnasõnalised avaldised (muutujaga avaldised).

Teema uurimise ülesanded

2) Tutvustada õpilasi aritmeetiliste tehete sooritamise järjekorra reeglitega.

3) Õppige leidma avaldiste arvväärtusi.

4) Tutvuge avaldiste identsete teisendustega aritmeetiliste tehete omaduste põhjal.

Ülesannete lahendamine toimub kõigi algklasside õppeaastate jooksul, alates lapse esimestest koolis viibimise päevadest.

Arvuliste avaldistega töötamise metoodika näeb ette kolm etappi: esimeses etapis - mõistete moodustamine kõige lihtsamate avaldiste kohta (summa, vahe, korrutis, kahe arvu jagatis); teises etapis - avaldiste kohta, mis sisaldavad ühe etapi kahte või enamat aritmeetilist operatsiooni; kolmandas etapis - avaldiste kohta, mis sisaldavad kahte või enamat erineva tasemega aritmeetilist tehtet.

Kõige lihtsamate väljenditega - summa ja vahe - tutvustatakse õpilasi esimeses klassis (vastavalt programmile 1-4) tootega ja era - teises klassis (mõistega "töö" - 2. klassis, terminiga "era" - kolmandas klassis).

Mõelge arvavaldiste uurimise meetodile.

Hulgadega toiminguid tehes õpivad lapsed ennekõike liitmise ja lahutamise spetsiifilist tähendust, seetõttu tajuvad nad sellistes kirjetes nagu 3 + 2, 7-1 tegevusmärke sõnade “lisa” lühikese nimetusena, "lahutada" (lisada 2 kuni 3). Edaspidi süvenevad tegevuse mõisted: õpilased saavad teada, et mõne ühiku liitmisel (lahutamisel) suurendame (vähendame) arvu sama ühikute arvu võrra (lugedes: 3 suurendame 2 võrra), siis saavad lapsed selgeks plussmärkide nimetus (lugemine: 3 pluss 2), "miinus".

Teemas “Liidamine ja lahutamine 20 piires” tutvustatakse lastele mõisteid “summa”, “erinevus” kui matemaatiliste avaldiste nimetusi ning liitmise ja lahutamise aritmeetiliste tehete tulemi nimetust.

Mõelge õppetükile (2. klass).

Kinnitage vee abil tahvlile 4 punast ja 3 kollast ringi:

OOOO OOO

Mitu punast ringi? (Kirjutage üles number 4.)

Mitu kollast ringi? (Kirjutage üles number 3.)

Mida tuleks teha kirjutatud numbritega 3 ja 4, et teada saada, mitu punast ja mitu kollast ringi on koos? (ilmub rekord: 4+3).

Ütle mulle, ilma et loeks mitu ringi seal on?

Sellist avaldist matemaatikas, kui numbrite vahel on “+” märk, nimetatakse summaks (Ütleme koos: summa) ja loetakse nii: nelja ja kolme summaks.

Nüüd selgitame välja, millega on võrdne arvude 4 ja 3 summa (anname täieliku vastuse).

Sama ka erinevuse pärast.

10 piires liitmise ja lahutamise uurimisel kaasatakse avaldised, mis koosnevad 3 või enamast arvust, mis on ühendatud samade ja erinevate aritmeetiliste tehtemärkidega: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 jne. Selgitades selliste väljendite tähendust, näitab õpetaja, kuidas neid lugeda. Nende avaldiste väärtusi arvutades valdavad lapsed praktiliselt reeglit aritmeetiliste toimingute järjekorra kohta ilma sulgudeta avaldistes, kuigi nad seda ei formuleeri: 10-3+2=7+2=9. Sellised kirjed on esimene samm identsete teisenduste tegemisel.

Sulgudega väljenditega tutvumise metoodika võib olla erinev (Kirjeldage vihikusse tunni fragmenti, valmistuge praktilisteks harjutusteks).

Väljendi koostamise ja tähenduse leidmise oskust kasutavad lapsed aritmeetikaülesannete lahendamisel, samas toimub siin mõiste "avaldis" edasine valdamine, väljendite spetsiifiline tähendus ülesannete lahendamise kirjetes assimileerub. .

Huvitav on Läti metoodik Ya.Ya pakutud töö tüüp. Mentzis.

Antakse näiteks selline tekst: “Poisil oli 24 rubla, kook maksab 6 rubla, komm 2 rubla”, pakutakse välja:

a) tehke selle teksti kohta igasuguseid väljendeid ja selgitage, mida need näitavad;

b) selgitage, mida väljendid näitavad:

2 rakku 3 rakku

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

3. klassis on koos varem käsitletud avaldistega avaldised, mis koosnevad kahest lihtlausest (37+6) - (42+1), aga ka arvust ja korrutisest või kahe arvu jagatisest. Näiteks: 75-50:25+2. Kui toimingute sooritamise järjekord ei ühti nende kirjutamise järjekorraga, kasutatakse sulgusid: 16-6:(8-5). Lapsed peavad õppima neid väljendeid õigesti lugema ja kirjutama, leidma nende tähendusi.

Mõisted "avaldis", "väljendusväärtus" võetakse kasutusele ilma määratlusteta. Laste lugemise ja keeruliste väljendite tähenduse leidmise hõlbustamiseks soovitavad metoodikud kasutada kollektiivselt koostatud ja väljendite lugemisel kasutatavat skeemi:

1) Teen kindlaks, milline toiming sooritatakse viimati.

2) Selle toimingu sooritamisel mõtlen sellele, kuidas numbreid kutsutakse.

3) Loen, kuidas neid numbreid väljendatakse.

Keeruliste väljendite toimingute järjekorra reegleid õpitakse 3. klassis, kuid lapsed kasutavad mõnda neist praktiliselt esimeses ja teises klassis.

Esimene on toimingute sooritamise järjekorra reegel sulgudeta avaldistes, kui arvud on kas ainult liitmine ja lahutamine või korrutamine ja jagamine (3 kl.). Töö eesmärk selles etapis on õpilaste varem omandatud praktilistele oskustele tuginedes pöörata tähelepanu selliste väljendite puhul toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada reegel.

Laste juhtimine reegli sõnastamiseni, selle mõistmine võib olla erinev. Peamine tuginemine olemasolevale kogemusele, maksimaalne võimalik sõltumatus, otsingu- ja avastamissituatsiooni loomine, tõendid.

Võite kasutada Sh.A. metoodilist tehnikat. Amonašvili "õpetaja viga".

Näiteks. Õpetaja teatab, et järgmiste väljendite tähenduse leidmisel sai ta vastused, mille õigsuses on kindel (vastused on suletud).

36:2 6=6 jne.

Kutsub lapsi üles leidma ise väljendite tähendusi ja seejärel võrdlema vastuseid õpetaja saadud vastustega (siinkohal selguvad aritmeetiliste tehete tulemused). Lapsed tõestavad, et õpetaja tegi vigu, ja sõnastavad konkreetsete faktide uurimise põhjal reegli (vt matemaatikaõpik, 3. klass).

Samamoodi saate tutvustada ülejäänud toimingute järjestuse reegleid: kui sulgudeta avaldised sisaldavad 1. ja 2. etapi toiminguid, siis sulgudega avaldistes. On oluline, et lapsed mõistaksid, et aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorra muutmine toob kaasa tulemuse muutumise, millega seoses otsustasid matemaatikud kokku leppida ja sõnastada reeglid, mida tuleb täpselt järgida.

Avaldise teisendamine on antud avaldise asendamine teise sama arvulise väärtusega avaldisega.Õpilased sooritavad selliseid avaldiste teisendusi, lähtudes aritmeetiliste tehete omadustest ja nende tagajärgedest (, lk 249-250).

Iga omadust uurides on õpilased veendunud, et teatud tüüpi väljendites saab toiminguid sooritada erineval viisil, kuid väljendi väärtus ei muutu. Edaspidi rakendavad õpilased teadmisi tegevuste omadustest, et muuta etteantud väljendid identseteks väljenditeks. Näiteks pakutakse vormi ülesandeid: jätka salvestamist nii, et märk “=” säiliks:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Esimese ülesande täitmisel põhjendavad õpilased nii: vasakul lahutatakse 76-st arvude 20 ja 4 summa , paremal 76-st lahutati 20; et saada paremale sama palju kui vasakule, tuleb paremalt lahutada veel 4. Sarnaselt teisendatakse ka teisi avaldisi, st pärast avaldise lugemist jääb õpilasele vastav reegel meelde. Ja tehes toiminguid vastavalt reeglile, saab see teisendatud avaldise. Teisenduse õigsuses veendumiseks arvutavad lapsed antud ja teisendatud avaldiste väärtused ning võrdlevad neid.

Rakendades teadmisi tegevuste omadustest arvutusmeetodite põhjendamiseks, teevad I-IV klassi õpilased vormi avaldiste teisendusi:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Samuti on siin vaja, et õpilased mitte ainult ei selgitaks iga järgnevat väljendit selle põhjal, mida nad saavad, vaid mõistaksid ka, et kõiki neid väljendeid ühendab märk “=”, kuna neil on sama tähendus. Selleks peaksite aeg-ajalt pakkuma lastele avaldiste väärtuste arvutamist ja võrdlemist. See hoiab ära sellised vead nagu: 75 - 30 = 70 - 30 = 40 + 5 = 45, 24 12 = (10 + 2) = 24 10 + 24 2 = 288.

II-IV klassi õpilased teostavad väljendite teisendamist mitte ainult tegevuse omadustest lähtuvalt, vaid ka nende konkreetse tähenduse alusel. Näiteks identsete liikmete summa asendatakse korrutisega: (6+ 6 + 6 = 6 3 ja vastupidi: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Lähtudes ka korrutamise tegevuse tähendusest, teisendatakse keerulisemad avaldised: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Arvutuste ja spetsiaalselt valitud väljendite analüüsi põhjal jõuavad IV klassi õpilased järeldusele, et kui sulgudega avaldises olevad sulud ei mõjuta tegevuste järjekorda, siis võib need ära jätta. Edaspidi harjutavad õpilased tegevuste õpitud omadusi ja tegevuste järjekorra reegleid kasutades sulgidega avaldiste teisendamist avaldisteks, mis on ilma sulgudeta nendega identsed. Näiteks tehakse ettepanek kirjutada need avaldised ilma sulgudeta, et nende väärtused ei muutuks:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Niisiis asendavad lapsed etteantud väljenditest esimese avaldistega: 65 + 30-20, 65-20 + 30, selgitades nendes toimingute sooritamise järjekorda. Nii tagavad õpilased, et tegevuste järjekorra muutmisel ei muutu väljendi tähendus ainult siis, kui protsessis rakendatakse tegevuste omadusi.

Sissejuhatus ................................................... . ................................................ .. ..... 2

I peatükk. Algebralise materjali uurimise üldteoreetilised aspektid algkoolis ................................... .............................................................. .......................................................... 7

1.1 Algebra elementide juurutamise kogemus algkoolis .................................. 7

1.2 Psühholoogilised alused algebraliste mõistete kasutuselevõtuks

algkoolis................................................ ................................ 12

1.3 Algebraliste mõistete päritolu probleem ja selle tähendus

õppeaine konstrueerimiseks ................................................ ...................... ....... kakskümmend

2.1 Haridus algkoolis vajaduste osas

Keskkool ................................................ ................................................................ .... 33

2.1 Mõistete võrdlemine (vastandamine) matemaatikatundides .... 38

2.3 Liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamise ühisõpe 48

III peatükk. Algebralise materjali õppimise praktika matemaatikatundides Rylski 4. keskkooli algklassides ................................. ...................... 55

3.1 Põhjendus uuenduslike tehnoloogiate (tehnoloogiad

didaktiliste üksuste suurendamine) ................................................... ...... 55

3.2 Algebramõistetega tutvumise kogemusest I kooliastmes .... 61

3.3 Kehade liikumisega seotud probleemide lahendamise õppimine .................................. 72

Järeldus................................................................ .................................................. 76

Bibliograafiline loetelu ................................................ .............................................. 79

Igas kaasaegses üldharidussüsteemis on matemaatika üks keskseid kohti, mis kahtlemata räägib selle teadmiste valdkonna ainulaadsusest.

Mis on kaasaegne matemaatika? Miks teda vaja on? Neid ja sarnaseid küsimusi esitavad lapsed sageli õpetajatele. Ja iga kord on vastus erinev, sõltuvalt lapse arengutasemest ja tema haridusvajadustest.

Sageli öeldakse, et matemaatika on tänapäeva teaduse keel. Sellel väitel näib aga olevat märkimisväärne viga. Matemaatika keel on nii laialt levinud ja nii sageli tõhus just seetõttu, et matemaatika ei ole sellele taandatav.

Silmapaistev vene matemaatik A.N. Kolmogorov kirjutas: "Matemaatika ei ole ainult üks keeltest. Matemaatika on keel pluss arutluskäik, see on nagu keel ja loogika koos. Matemaatika on mõtlemise tööriist. See koondab paljude inimeste täpse mõtlemise tulemused. matemaatika abiga saab üht arutlust teisega siduda... Looduse ilmselge keerukus oma kummaliste seaduste ja reeglitega, millest igaüks võimaldab eraldi väga detailset selgitust, on tegelikult omavahel tihedalt seotud.Kui aga ei taha matemaatikat kasutada, siis selles tohutus faktide mitmekesisuses ei näe te, et loogika lubab teil minna üle ühelt teisele "(, lk 44).

Seega võimaldab matemaatika kujundada teatud mõtlemisvorme, mis on vajalikud meid ümbritseva maailma uurimiseks.

Praegu on üha enam märgatav ebaproportsionaalsus meie looduse tundmise taseme ja inimese, tema psüühika ja mõtteprotsesside mõistmise vahel. W. W. Sawyer märgib oma raamatus "Matemaatika eelmäng" (lk 7): "Võite õpetada õpilasi lahendama üsna palju erinevaid ülesandeid, kuid tõeline rahulolu saabub alles siis, kui suudame oma õpilastele üle kanda mitte ainult teadmisi, vaid meele paindlikkust, mis annaks neile tulevikus võimaluse mitte ainult iseseisvalt lahendada, vaid ka endale uusi ülesandeid püstitada.

Muidugi on siin teatud piirid, mida ei tasu unustada: palju määravad kaasasündinud võimed, andekus. Siiski on võimalik märkida terve rida tegureid, mis sõltuvad haridusest ja kasvatusest. Seetõttu on ülimalt oluline anda õige hinnang hariduse laiaulatuslikele kasutamata võimalustele üldiselt ja eelkõige matemaatikaharidusele.

Viimastel aastatel on olnud pidev suundumus matemaatiliste meetodite tungimisele sellistesse teadustesse nagu ajalugu, filoloogia, rääkimata keeleteadusest ja psühholoogiast. Seetõttu laieneb nende inimeste ring, kes oma hilisemas erialases tegevuses tõenäoliselt matemaatikat rakendavad.

Meie haridussüsteem on korraldatud nii, et kool annab paljudele elus ainsa võimaluse matemaatilise kultuuriga ühineda, matemaatikas sisalduvaid väärtusi omandada.

Milline on matemaatika laiemalt ja koolimatemaatika konkreetselt mõju loomeinimese kasvamisele? Matemaatikatundides ülesannete lahendamise kunsti õpetamine annab meile erakordselt soodsa võimaluse õpilastes teatud mõtteviisi kujunemiseks. Uurimisvajadus arendab huvi mustrite vastu, õpetab nägema inimmõtte ilu ja harmooniat. Kõik see on meie arvates ühise kultuuri kõige olulisem element. Olulist mõju avaldab matemaatika kursus erinevate mõtlemisvormide kujunemisele: loogiline, ruumigeomeetriline, algoritmiline. Iga loomeprotsess algab hüpoteesi püstitamisest. Matemaatika, sobiva õppekorraldusega, olles hea kool hüpoteeside püstitamiseks ja kontrollimiseks, õpetab meid võrdlema erinevaid hüpoteese, leidma parimat varianti, püstitama uusi ülesandeid ja otsima võimalusi nende lahendamiseks. Muuhulgas kujuneb tal ka metoodilise töö harjumus, ilma milleta pole mõeldav ükski loomeprotsess. Inimmõtlemise võimalusi maksimeerides on matemaatika selle kõrgeim saavutus. See aitab inimesel eneseteadvusel ja tema iseloomu kujunemisel.

See on vaid väike osa suurest põhjuste loetelust, miks matemaatikateadmised peaksid saama üldise kultuuri lahutamatuks osaks ning asendamatuks elemendiks lapse kasvatamisel ja hariduses.

Matemaatika (ilma geomeetriata) kursus meie 10-aastases koolis jaguneb tegelikult kolmeks põhiosaks: aritmeetika (I-V klass), algebra (VI-VIII klass) ja analüüsi elemendid (IX-X klass). Mis on sellise alajaotuse aluseks?

Loomulikult on igal neist osadest oma spetsiaalne "tehnoloogia". Nii seostatakse seda näiteks aritmeetikas mitme väärtusega arvude arvutustega, algebras - identsete teisendustega, logaritmiga, analüüsis - diferentseerimisega jne. Kuid millised on sügavamad alused, mis on seotud iga osa kontseptuaalse sisuga?

Järgmine küsimus puudutab kooliaritmeetika ja algebra (st kursuse esimese ja teise osa) eristamise aluseid. Aritmeetika hõlmab naturaalarvude (positiivsed täisarvud) ja murdude (algus- ja kümnendarvud) uurimist. Spetsiaalne analüüs näitab aga, et seda tüüpi numbrite kombineerimine ühes kooliaines on ebaseaduslik.

Fakt on see, et neil numbritel on erinevad funktsioonid: esimesed on seotud objektide loendamisega, teised suuruste mõõtmisega. See asjaolu on väga oluline, et mõista tõsiasja, et murdarvud (ratsionaalarvud) on ainult reaalarvude erijuht.

Suuruste mõõtmise seisukohalt, nagu märkis A.N. Kolmogorovi sõnul "ratsionaalarvude ja irratsionaalsete reaalarvude vahel nii sügavat erinevust ei ole. Pedagoogilistel põhjustel jäävad nad ratsionaalarvude juurde pikaks ajaks, kuna neid on lihtne murdudena kirjutada; siiski kasutatakse need oleksid kohe algusest peale pidanud viima reaalarvudeni kogu nende üldistuses" (), lk 9).

A.N. Kolmogorov pidas õigustatuks nii matemaatika arenguloo seisukohalt kui ka sisuliselt A. Lebesgue'i ettepanekut liikuda naturaalarvude õpetamisel koheselt reaalarvude päritolu ja loogilise olemuse juurde. Samal ajal, nagu märkis A.N. Kolmogorovi sõnul on "ratsionaal- ja reaalarvude konstrueerimise lähenemine suuruste mõõtmise seisukohalt sugugi vähem teaduslik kui näiteks ratsionaalarvude kasutuselevõtt "paaride" kujul. Kooli jaoks on aga see on vaieldamatu eelis“ (, lk 10).

Seega on loomulike (täis)arvude põhjal reaalne võimalus moodustada koheselt "arvu kõige üldisem mõiste" (A. Lebesgue terminoloogias), reaalarvu mõiste. Kuid programmi ülesehituse seisukohalt ei tähenda see enamat ega vähemat kui murdude aritmeetika kaotamist selle koolitõlgenduses. Üleminek täisarvudelt reaalarvudele on üleminek aritmeetikalt "algebrale", analüüsi aluse loomisele.

Need enam kui 20 aastat tagasi väljendatud ideed on aktuaalsed ka tänapäeval. Kas selles suunas on võimalik muuta matemaatika õpetamise struktuuri põhikoolis? Millised on matemaatika esmase õpetuse "algebraiseerimise" eelised ja puudused? Selle töö eesmärk on püüda vastata esitatud küsimustele.

Selle eesmärgi saavutamiseks tuleb lahendada järgmised ülesanded:

Algebraliste suurus- ja arvumõistete sissejuhatuse üldteoreetiliste aspektide käsitlemine algkoolis. See ülesanne on püstitatud töö esimeses peatükis;

Konkreetse metoodika uurimine nende mõistete õpetamiseks algkoolis. Eelkõige tuleks siin käsitleda nn didaktiliste üksuste laienemise teooriat (UDE), millest tuleb juttu allpool;

Näidake vaadeldavate sätete praktilist rakendatavust algklasside koolimatemaatikatundides (tunnid viis autor läbi Rylski 4. keskkoolis). See on töö kolmanda peatüki teema.

Seoses sellele küsimusele pühendatud bibliograafiaga võib märkida järgmist. Vaatamata sellele, et viimasel ajal on avaldatud matemaatika metoodilise kirjanduse kogumaht äärmiselt väike, ei tulnud töö kirjutamisel infost puudust. Tõepoolest, 1960. aastast (probleemi püstitamise aeg) kuni 1990. aastani. Meie riigis on avaldatud tohutul hulgal õppe-, teadus- ja metoodilist kirjandust, mis ühel või teisel määral mõjutab algebraliste mõistete kasutuselevõttu algkooli matemaatika kursuses. Lisaks käsitletakse neid küsimusi regulaarselt spetsiaalsetes perioodikaväljaannetes. Nii kasutati töö kirjutamisel suurel määral publikatsioone ajakirjades Pedagoogika, Matemaatika õpetamine Koolis ja Algkoolis.

Aine sisu, nagu teate, sõltub paljudest teguritest - elunõuetest õpilaste teadmistele, vastavate teaduste tasemest, laste vaimsest ja füüsilisest vanusest jne. Nende tegurite õige arvestamine on kõige olulisem tingimus tõhus õpe koolilapsed, laiendades nende kognitiivseid võimeid. Kuid mõnikord ei ole see tingimus ühel või teisel põhjusel täidetud. Sel juhul ei anna õpetamine soovitud efekti nii laste poolt vajalike teadmiste omastamise kui ka nende intellekti arendamise osas.

Tundub, et praegu ei vasta osade ainete, eelkõige matemaatika õpetamise programmid uutele elunõuetele, arengutasemele. kaasaegsed teadused(näiteks matemaatika) ja uued andmed arengupsühholoogia ja loogika. See asjaolu tingib vajaduse õppeainete uue sisuga seotud võimalike projektide tervikliku teoreetilise ja eksperimentaalse kontrollimise järele.

Sihtasutus matemaatilisi teadmisi asutati algkoolis. Kuid kahjuks pööravad nii matemaatikud ise kui ka metoodikud ja psühholoogid sisule väga vähe tähelepanu elementaarne matemaatika. Piisab, kui öelda, et matemaatika õppekava algklassides (I-IV klass) kujunes oma põhijoontes välja 50-60 aastat tagasi ja peegeldab loomulikult tolleaegset matemaatika, metoodika ja psühholoogia ideede süsteemi.

Mõelge põhikooli matemaatika riikliku standardi iseloomulikele tunnustele. Selle põhisisu on täisarvud ja tehted nendega, mida uuritakse teatud järjestuses. Esiteks uuritakse nelja tegevust 10 ja 20 piires, seejärel - suulisi arvutusi 100 piires, suulisi ja kirjalikke arvutusi 1000 piires ning lõpuks miljonite ja miljardite piires. IV klassis uuritakse mõningaid seoseid andmete ja aritmeetiliste tehete tulemuste vahel ning lihtmurdu. Lisaks hõlmab programm meetermõõdustiku ja ajamõõtude uurimist, oskust neid mõõtmiseks kasutada, visuaalse geomeetria mõningate elementide tundmist - ristküliku ja ruudu joonistamist, segmentide, ristküliku pindalade ja ruudu mõõtmist. ruut, arvutades mahtusid.

Õpilased peaksid omandatud teadmisi ja oskusi rakendama ülesannete lahendamisel ja lihtsate arvutuste tegemisel. Kogu kursuse vältel toimub probleemide lahendamine paralleelselt numbrite ja toimingute õppimisega - selleks on eraldatud pool vastavast ajast. Ülesannete lahendamine aitab õpilastel mõista toimingute konkreetset tähendust, mõista nende rakendamise erinevaid juhtumeid, luua suuruste vahelisi seoseid ning omandada elementaarsed analüüsi- ja sünteesioskused. I-IV klassi lapsed lahendavad järgmisi põhitüüpe (liht- ja liitülesandeid): summa ja jäägi leidmine, korrutis ja jagatis, nende arvude suurendamine ja vähendamine, erinevus ja mitmikvõrdlus, lihtne kolmikreegel, proportsionaalne jagamine, ülesande leidmine. teadmata kahe erinevuse, aritmeetilise keskmise arvutamise ja mõnede muud tüüpi ülesannete tõttu.

Lapsed puutuvad ülesannete lahendamisel kokku erinevat tüüpi suuruste sõltuvustega. Aga see on väga iseloomulik – õpilased alustavad ülesandeid pärast ja kui nad numbreid uurivad; peamine, mida lahendamisel nõutakse, on numbrilise vastuse leidmine. Lapsed paljastavad suurte raskustega kvantitatiivsete suhete omadusi konkreetsetes privaatsetes olukordades, mida tavaliselt peetakse aritmeetilisteks probleemideks. Praktika näitab, et arvudega manipuleerimine asendab sageli ülesande tingimuste tegelikku analüüsi reaalsuuruste sõltuvuste seisukohalt. Õpikutesse toodud ülesanded ei kujuta pealegi süsteemi, kus "keerulisemad" olukorrad oleksid seotud kvantitatiivsete seoste "sügavamate" kihtidega. Sama raskusastmega ülesandeid võib leida nii õpiku algusest kui lõpust. Need muutuvad jaotisest sektsiooni ja klassist klassi vastavalt süžee keerukusele (toimingute arv suureneb), vastavalt numbrite järjestusele (kümnest miljardini), vastavalt füüsiliste sõltuvuste keerukusele (jaotusest). ülesanded liikumisülesanneteks) ja muud parameetrid. Vaid üks parameeter – süvenemine õigete matemaatiliste seaduste süsteemi – avaldub neis nõrgalt, ebaselgelt. Seetõttu on väga raske määrata konkreetse ülesande matemaatilise raskusastme kriteeriumi. Miks on kahe erinevuse järgi tundmatu leidmise ja aritmeetilise keskmise leidmise ülesanded (III klass) raskemad kui erinevuse ja mitmikvõrdluse ülesanded (II klass)? Metoodika ei anna sellele küsimusele veenvat ja loogilist vastust.

Seega ei saa algklassiõpilased ka arvuteooria elemente õppides adekvaatseid täisväärtuslikke teadmisi suuruste sõltuvuste ja kvantiteedi üldiste omaduste kohta, kuna need on koolikursusel peamiselt seotud arvutustehnikaga, või probleemide lahendamisel, kuna viimastel puudub vastav vorm ja puudub nõutav süsteem. Metoodikute katsed õpetamismeetodeid täiustada, kuigi need viivad osalise eduni, ei muuda asjade üldist seisu, kuna neid piirab eelnevalt aktsepteeritud sisu raamistik.

Tundub, et vastuvõetud programmi kriitiline analüüs aritmeetikas peaks põhinema järgmistel sätetel:

Arvu mõiste ei ole identne objektide kvantitatiivsete omaduste mõistega;

Arv ei ole kvantitatiivsete suhete väljendamise algvorm.

Esitame nende sätete põhjendused.

On hästi teada, et kaasaegne matemaatika (eriti algebra) uurib selliseid kvantitatiivsete seoste momente, millel pole arvulist kesta. Samuti on hästi teada, et mõned kvantitatiivsed seosed on üsna väljendatavad ilma arvudeta ja arvude ees, näiteks segmentides, mahtudes jne. (suhe "suurem kui", "väiksem kui", "võrdne"). Esialgsete üldiste matemaatiliste mõistete esitamine kaasaegsetes käsiraamatutes toimub sellises sümboolikas, mis ei tähenda objektide kohustuslikku väljendamist numbritega. Niisiis, raamatus E.G. Gonin "Teoreetiline aritmeetika", peamised matemaatilised objektid on algusest peale tähistatud tähtede ja erimärkidega (, lk 12 - 15). Iseloomulik on see, et teatud tüüpi arvud ja arvulised sõltuvused on toodud vaid näidetena, hulkade omaduste illustreerimiseks, mitte nende ainsa võimaliku ja kordumatuna. olemasolev vorm väljendid. Lisaks on tähelepanuväärne, et paljud üksikute matemaatiliste definitsioonide illustratsioonid on esitatud graafilisel kujul, segmentide ja alade suhte kaudu (lk 14-19). Hulkade ja suuruste kõiki põhiomadusi saab tuletada ja põhjendada ilma arvsüsteeme kaasamata; pealegi saavad viimased ise õigustuse üldiste matemaatiliste mõistete alusel.

Psühholoogide ja pedagoogide arvukad tähelepanekud näitavad omakorda, et kvantitatiivsed representatsioonid tekivad lastel ammu enne, kui nad omandavad teadmised numbrite ja nendega tegutsemise meetodite kohta. Tõsi, kiputakse neid esitusi omistama "eelmatemaatiliste moodustiste" kategooriasse (mis on üsna loomulik traditsiooniliste meetodite puhul, mis tuvastavad objekti kvantitatiivse tunnuse numbriga), kuid see ei muuda nende olulist funktsiooni lapse üldine orientatsioon asjade omadustes. Ja mõnikord juhtub, et nende väidetavalt "eelmatemaatiliste moodustiste" sügavus on lapse enda matemaatilise mõtlemise arendamiseks olulisem kui teadmine arvutitehnoloogia keerukusest ja oskus leida puhtalt numbrilisi sõltuvusi. Tähelepanuväärne on, et akad. A.N. Kolmogorov märgib matemaatilise loovuse tunnuseid iseloomustades konkreetselt järgmist asjaolu: „Enamik matemaatilisi avastusi põhinevad mõnel lihtsal ideel: visuaalne geomeetriline konstruktsioon, uus elementaarne ebavõrdsus jne. Seda lihtsat ideed on vaja ainult õigesti rakendada. esmapilgul kättesaamatuna näiva probleemi lahendamiseni" (, lk 17).

Praegu on otstarbekas saada palju erinevaid ideid uue programmi ülesehituse ja koostamise meetodite kohta. Selle koostamise töösse on vaja kaasata matemaatikud, psühholoogid, loogikud ja metoodikud. Kuid kõigis selle konkreetsetes variantides näib, et see peab vastama järgmistele põhinõuetele:

Ületada olemasolev lõhe matemaatika sisu vahel alg- ja keskkoolis;

Anda teadmiste süsteem objektiivse maailma kvantitatiivsete suhete põhiseaduspärasuste kohta; samal ajal peaksid arvude omadused kvantiteedi väljendamise erivormina muutuma programmi eriliseks, kuid mitte põhiosaks;

Sisendada lastele matemaatilise mõtlemise tehnikaid, mitte ainult arvutamisoskusi: see hõlmab sellise ülesannete süsteemi loomist, mis põhineb süvenemisel reaalsete suuruste sõltuvuste sfääri (matemaatika seos füüsika, keemia, bioloogia ja muud teadused, mis uurivad konkreetseid koguseid);

Resoluutselt lihtsustage kogu arvutustehnikat, vähendades miinimumini tööd, mida ei saa teha ilma sobivate tabelite, teatmeteoste ja muude abivahenditeta (eriti elektrooniliste).

Nende nõuete tähendus on selge: algkoolis on täiesti võimalik õpetada matemaatikat kui teadust kvantitatiivsete seoste seaduspärasuste, suuruste sõltuvuste kohta; arvutustehnikad ja arvuteooria elemendid peaksid saama programmi eriliseks ja privaatseks osaks.

Alates 1960. aastate lõpust läbi viidud uue matemaatikaprogrammi koostamise kogemus ja selle eksperimentaalne kontrollimine lubavad juba rääkida võimalusest viia kooli matemaatika süstemaatiline kursus alates 1. klassist, mis annab teadmisi kvantitatiivsetest seostest ja suuruste sõltuvused algebralisel kujul .

1.2 Psühholoogilised alused algebraliste mõistete juurutamiseks algkoolis

Viimasel ajal on õppekavade kaasajastamisel pööratud erilist tähelepanu kooli õppekavasse seatud teoreetilise vundamendi toomisele (see suund avaldub selgelt nii meil kui välismaal). Selle suundumuse rakendamine õppetöös (eriti algklassides, nagu on täheldatud näiteks aastal Ameerika kool) tekitab paratamatult mitmeid keerulisi küsimusi laste- ja kasvatuspsühholoogia ning didaktika jaoks, sest praegu pole peaaegu ühtegi uuringut, mis paljastaks hulga mõiste tähenduse omastamise iseärasused lapse poolt (erinevalt loendamise ja loendamise assimilatsioonist). number, mida on uuritud väga mitmekülgselt).

Viimaste aastate loogilised ja psühholoogilised uuringud (eriti J. Piaget' töö) on paljastanud seose laste mõtlemise teatud "mehhanismide" ja üldiste matemaatiliste mõistete vahel. Allpool käsitletakse selle seose iseärasusi ja nende tähtsust matemaatika kui akadeemilise õppeaine ülesehitamisel (sel juhul keskendume asja teoreetilisele poolele, mitte mõnele konkreetsele programmi versioonile).

Naturaalarv on olnud matemaatika põhimõiste läbi selle ajaloo; see mängib väga olulist rolli kõikides tootmisvaldkondades, tehnoloogias ja igapäevaelus. See võimaldab teoreetilistel matemaatikutel anda sellele erilise koha teiste matemaatikamõistete seas. Erinevates vormides esitatakse väiteid, et naturaalarvu mõiste on matemaatilise abstraktsiooni algstaadium, et see on enamiku matemaatikadistsipliinide konstrueerimise aluseks.

Matemaatika kui õppeaine algelementide valik neid sisuliselt ellu viib üldsätted. Samas eeldatakse, et numbriga tutvudes paljastab laps enda jaoks samaaegselt kvantitatiivsete seoste algsed tunnused. Loendamine ja arv on kogu järgneva matemaatika õppimise aluseks koolis.

Siiski on põhjust arvata, et need sätted, mis toovad õigustatult esile arvu erilise ja fundamentaalse tähenduse, väljendavad samas ebaadekvaatselt selle seost teiste matemaatiliste mõistetega, hindavad ebatäpselt arvu kohta ja rolli omandamise protsessis. matemaatika. Eelkõige tulenevad sellest asjaolust mõned olulised puudujäägid vastuvõetud matemaatikaprogrammides, meetodites ja õpikutes. Eraldi on vaja kaaluda arvu mõiste tegelikku seost teiste mõistetega.

Matemaatikas vaadeldakse süstemaatiliselt paljusid üldmatemaatilisi mõisteid, eriti aga samaväärsuse ja järjekordseoste mõisteid, sõltumata numbrilisest vormist. Need mõisted ei kaota oma iseseisvat iseloomu, nende põhjal saab kirjeldada ja uurida konkreetset ainet - erinevaid arvusüsteeme, mille mõisted iseenesest ei kata algsete definitsioonide tähendust ja tähendust. Pealegi on matemaatikateaduse ajaloos üldmõisted arenenud täpselt niivõrd, kuivõrd "algebralised tehted" kuulus näide mis esitatakse nelja aritmeetilise tehte abil, hakati rakendama täiesti mitte-"numbriliste" elementide puhul.

Viimasel ajal on püütud arendada õpetamises lapsele matemaatika tutvustamise etappi. See suund leiab väljenduse metoodilistes käsiraamatutes, aga ka mõnes eksperimentaalses õpikus. Nii et ühes Ameerika õpikus, mis on mõeldud 6–7-aastaste laste õpetamiseks (), tutvustatakse esimestel lehekülgedel ülesandeid ja harjutusi, mis õpetavad lapsi konkreetselt ainerühmade identiteedi kindlakstegemiseks. Lastele näidatakse komplektide ühendamise tehnikat, - samal ajal tutvustatakse vastavat matemaatilist sümboolikat. Numbritega töötamine põhineb elementaarsel teabel hulkade kohta.

Konkreetsete selle trendi elluviimise katsete sisu on võimalik hinnata erinevalt, kuid see on meie hinnangul igati õigustatud ja paljulubav.

Esmapilgul ei saa väikeste laste matemaatiliste esituste moodustamisega seostada mõisteid "suhe", "struktuur", "koosseisuseadused" jne, millel on keerukad matemaatilised määratlused. Loomulikult on nende mõistete kogu tõeline ja abstraktne tähendus ning nende koht matemaatika kui teaduse aksiomaatilises konstrueerimises assimilatsiooniobjekt juba hästi arenenud ja matemaatikas "koolitatud" pea poolt. Kuid nende mõistetega fikseeritud asjade teatud omadused ilmnevad ühel või teisel viisil lapse jaoks juba suhteliselt varakult: selleks on konkreetsed psühholoogilised andmed.

Esiteks tuleb meeles pidada, et sünnihetkest kuni 7-10 aastani areneb ja moodustab laps ümbritseva maailma kohta kõige keerukamaid üldideesüsteeme ning pannakse alus sisulisele-objektiivsele mõtlemisele. Pealegi toovad lapsed suhteliselt kitsa empiirilise materjali põhjal välja üldised orienteerumisskeemid asjade aja-ruumilistes ja põhjus-tagajärg seostes. Need skeemid on omamoodi raamistik "koordinaatsüsteemile", mille raames laps hakkab üha sügavamalt valdama mitmekesise maailma erinevaid omadusi. Loomulikult on need üldised skeemid vähe realiseerunud ja vähesel määral saab neid väljendada ka laps ise abstraktse hinnangu vormis. Piltlikult öeldes on need lapse käitumise intuitiivne organiseerimise vorm (kuigi mõistagi kajastuvad nad üha enam ka hinnangutes).

Viimastel aastakümnetel on laste intellekti kujunemise ja neis üldiste reaalsuse, aja ja ruumi ideede esilekerkimise küsimusi eriti intensiivselt uurinud kuulus Šveitsi psühholoog J. Piaget ja tema kolleegid. Mõned tema tööd on otseselt seotud lapse matemaatilise mõtlemise arendamise probleemidega ja seetõttu on meie jaoks oluline käsitleda neid seoses disainiküsimustega. õppekava.

Ühes tema viimased raamatud() J. Piaget annab eksperimentaalseid andmeid selliste elementaarsete loogiliste struktuuride nagu klassifitseerimine ja järjestamine tekke ja kujunemise kohta lastel (kuni 12–14 aastat). Klassifitseerimine hõlmab kaasamise operatsiooni (näiteks A + A "= B) ja sellele vastupidise operatsiooni (B - A" = A) rakendamist. Seriatsioon on objektide järjestamine süstemaatilistesse ridadesse (näiteks saab ritta paigutada erineva pikkusega pulgad, mille iga liige on suurem kui kõik eelnevad ja väiksem kui kõik järgnevad).

Analüüsides klassifikatsiooni kujunemist, näitab J. Piaget, kuidas lapsed liiguvad selle algsest vormist, ainult objektide ruumilisel lähedusel põhineva "figuureeritud hulga" loomisest edasi sarnasussuhtel põhineva klassifikatsioonini (" mittefiguurilised komplektid") ja seejärel klassifikatsioonile endale. keeruline vorm - klasside kaasamisele mõiste mahu ja sisu vahelise seose tõttu. Autor käsitleb konkreetselt klassifikatsiooni moodustamise küsimust mitte ainult ühe, vaid ka kahe või kolme märgi järgi, et lastel tekiks võime klassifikatsiooni alust uute elementide lisamisel muuta. Sarnaseid etappe leiavad autorid ka seriatsiooni arendamise protsessis.

Need uuringud olid suunatud kindel eesmärk- paljastada mõistuse operaatorstruktuuride kujunemismustreid ja eelkõige nende konstitutiivset omadust pööratavusena, s.o. mõistuse võime liikuda edasi ja tagasi. Pöörduvus ilmneb siis, kui "operatsioonid ja tegevused võivad areneda kahes suunas ja ühe suuna mõistmine põhjustab ipso facto [tõsiselt] teise mõistmise" (, lk 15).

Pööratavus esindab J. Piaget' järgi mõistusele omast põhiseadust kompositsiooni. Sellel on kaks üksteist täiendavat ja taandamatut vormi: ümberpööramine (inversioon või eitus) ja vastastikkus. Pööramine toimub näiteks juhul, kui objekti ruumilist liikumist punktist A punkti B saab tühistada objekti B-st tagasi A-sse viimisega, mis on lõppkokkuvõttes võrdne nullteisendusega (tehte tagasi korrutis on identne tehe või nullteisendus).

Vastastikune vastastikkus (või kompensatsioon) tähendab juhtumit, kui näiteks objekti liigutamisel punktist A punkti B jääb objekt punkti B, kuid laps ise liigub punktist A punkti B ja taastoodab algpositsiooni, kui objekt oli vastu tema keha . Objekti liikumist siin ei tühistata, vaid see kompenseeriti vastava nihkega enda keha- ja see on juba teistsugune teisenemise vorm kui konversioon (, lk 16).

J. Piaget näitas oma töödes, et need transformatsioonid ilmnevad esmalt sensoor-motoorsete ahelate kujul (10-12 kuud). Sensoor-motoorsete skeemide, funktsionaalse sümboolika ja keelelise kuvamise järkjärguline kooskõlastamine toob kaasa asjaolu, et mitme etapi kaudu muutuvad konversioon ja vastastikkus intellektuaalsete toimingute (operatsioonide) omadusteks ja sünteesitakse ühes operaatori struktuuris (perioodil 7. 11 ja 12-15 aastat). Nüüd saab laps kõik liigutused ühte koordineerida kahes tugiraamis korraga – üks on liikuv, teine ​​paigal.

J. Piaget usub, et aritmeetiliste ja geomeetriliste tehete arengu psühholoogiline uurimine lapse meeles (eriti need loogikatehed, mis teostavad neis eeltingimusi) võimaldab täpselt korreleerida mõtlemise operaatorstruktuure algebraliste struktuuridega. järjestusstruktuurid ja topoloogilised struktuurid (, lk 13). Seega vastab algebraline struktuur ("rühm") mõistuse operaatorimehhanismidele, alludes ühele pööratavuse vormile - inversioonile (eitamisele). Rühmal on neli elementaarset omadust: kahe rühmaelemendi korrutis annab ka rühmaelemendi; otsejuhtimine vastab ühele ja ainult ühele tagurpidikäigule; toimub identiteedi toiming; järjestikused kompositsioonid on assotsiatiivsed. Intellektuaalse tegevuse keeles tähendab see:

Kahe tegevussüsteemi kooskõlastamine on uus skeem, eelmistele lisatud;

Operatsioon võib areneda kahes suunas;

Lähtepunkti naastes leiame selle muutumatuna;

Ühte ja samasse punkti võib jõuda erineval viisil ning punkt ise jääb muutumatuks.

Lapse “iseseisva” arengu (st otsesest mõjust sõltumatu arengu) faktid kooliminek) näitavad lahknevust lapse geomeetria etappide järjekorra ja geomeetriliste mõistete kujunemise etappide vahel. Viimased lähenevad põhirühmade järjestusele, kus topoloogia on esikohal. Piaget’ sõnul tekib lapsel esmalt topoloogiline intuitsioon ning seejärel orienteerub ta projektiivsete ja meetriliste struktuuride suunas. Seetõttu, nagu märgib J. Piaget, ei tee laps esimestel joonistamiskatsetel vahet ruutudel, ringidel, kolmnurkadel ja muudel meetrilistel kujunditel, vaid eristab suurepäraselt avatud ja suletud kujundeid, asendit "väljas" või " sees" seoses piiri, eraldatuse ja naabruskonnaga (esialgu kaugusi eristamata) jne. (, lk 23).

Vaatleme peamisi J. Piaget sõnastatud sätteid seoses õppekava koostamise küsimustega. Esiteks näitavad Piaget' uuringud, et koolieelses ja koolieas kujunevad lapsel sellised mõtlemise operaatoristruktuurid, mis võimaldavad hinnata objektide klasside põhiomadusi ja nende suhteid. Pealegi omandab lapse intellekt juba konkreetsete operatsioonide etapis (7-8-aastaselt) pöörduvuse omaduse, mis on äärmiselt oluline õppeainete, eriti matemaatika teoreetilise sisu mõistmiseks.

Need andmed näitavad, et traditsiooniline psühholoogia ja pedagoogika ei võtnud piisavalt arvesse nende lapse vaimse arengu etappide keerukust ja mahukat olemust, mis on seotud perioodiga 2–7 ja 7–11 aastat.

J. Piaget' saadud tulemuste arvestamine võimaldab teha mitmeid olulisi järeldusi seoses matemaatika õppekava koostamisega. Esiteks näitavad tegelikud andmed 2–11-aastase lapse intellekti kujunemise kohta, et praegu pole matemaatiliste mõistete "suhe - struktuur" abil kirjeldatud objektide omadused "võõrad". teda, aga viimased ise sisenevad orgaaniliselt lapse mõtlemisse.

Traditsioonilised programmid seda asjaolu arvesse ei võta. Seetõttu ei teadvusta nad paljusid lapse intellektuaalse arengu protsessis varitsevaid võimalusi.

Kaasaegses lastepsühholoogias saadaolevad materjalid võimaldavad positiivselt hinnata sellise õppeaine koostamise üldist ideed, mis põhineks esialgsete matemaatiliste struktuuride kontseptsioonidel. Loomulikult tekivad sellel teel suured raskused, kuna sellise aine koostamise kogemus puudub. Eelkõige on üks neist seotud vanuse "lävepiiri" määratlemisega, millest alates on uue programmi raames treenimine teostatav. Kui lähtuda J. Piaget loogikast, siis ilmselt saab neid programme õpetada alles siis, kui operaatoristruktuurid on lastel (alates 14-15 eluaastast) juba täielikult välja kujunenud. Aga kui eeldada, et lapse tegelik matemaatiline mõtlemine kujuneb välja just protsessis, mille J. Piaget on määranud operaatorstruktuuride voltimise protsessiks, siis saab neid programme kasutusele võtta palju varem (näiteks alates 7-8 aastast). ), kui lapsed hakkavad moodustama spetsiifilisi operatsioone, millel on kõrgeim pöörduvus. "Looduslikes" tingimustes, traditsiooniliste programmide järgi õppides, kujunevad formaalsed toimingud ehk alles 13-15. eluaastaks. Kuid kas nende teket on võimalik "kiirendada" varasema sellise õppematerjali kasutuselevõtuga, mille assimilatsioon eeldab vahetut matemaatiliste struktuuride analüüsi?

Tundub, et sellised võimalused on olemas. 7 - 8. eluaastaks on lastel juba piisaval määral välja töötatud vaimsete tegevuste plaan ning õpetades vastava programmi järgi, milles on "selgelt" antud matemaatiliste struktuuride omadused ja lastele antud vahendid. Nende analüüsimisel on võimalik kiiresti viia lapsed "formaalsete" operatsioonide tasemele, kui nende omaduste "iseseisva" avastamisega.

Sel juhul on oluline arvestada järgmise asjaoluga. On alust arvata, et J. Piaget’ poolt 7-11-aastaseks dateeritud konkreetsete operatsioonide tasandil mõtlemise iseärasused on ise lahutamatult seotud traditsioonilisele algkoolile iseloomulike hariduskorralduse vormidega. See koolitus (nii meil kui ka välismaal) viiakse läbi äärmiselt empiirilise sisu alusel, mis ei ole sageli üldse seotud kontseptuaalse (teoreetilise) suhtumisega objekti. Selline koolitus toetab ja kinnistab lastes väliste, vahetu tajumise teel tajutavate märkide põhjal mõtlemist.

Seega on praegu olemas faktilised andmed, mis näitavad tihedat seost laste mõtlemise struktuuride ja üldiste algebraliste struktuuride vahel, kuigi selle seose "mehhanism" pole kaugeltki selge ja seda on vähe uuritud. Selle seose olemasolu avab põhimõttelised võimalused (seni ainult võimalused!) õppeaine konstrueerimiseks, mis areneb vastavalt skeemile "lihtsatest struktuuridest nende keerukate kombinatsioonideni". Nende võimaluste realiseerumise üheks tingimuseks on vahendatud mõtlemisele ülemineku ja selle vanusestandardite uurimine. Selline matemaatika kui akadeemilise õppeaine ülesehitamise viis võib iseenesest olla võimas hoob sellise mõtlemise kujundamisel lastes, mis põhineb üsna kindlal kontseptuaalsel alusel.

1.3 Algebraliste mõistete päritolu probleem ja selle tähendus subjekti konstrueerimisel

Matemaatika koolikursuse jagamine algebraks ja aritmeetikaks on muidugi tingimuslik. Üleminek ühelt teisele toimub järk-järgult. Koolipraktikas varjab selle ülemineku tähendust tõsiasi, et murdude uurimine toimub tegelikult ilma üksikasjalikult suuruste mõõtmisele toetumata – murde on antud arvupaaride suhetena (kuigi formaalselt on suuruste mõõtmise olulisus siiski oluline tunnustatud metoodilistes käsiraamatutes). Murdarvude laiendatud kasutuselevõtt, mis põhineb suuruste mõõtmisel, viib paratamatult reaalarvu mõisteni. Viimast aga tavaliselt ei juhtu, kuna õpilasi hoitakse pikka aega ratsionaalsete arvudega tööl ja seega viibib nende üleminek "algebrale".

Teisisõnu algab koolialgebra just siis, kui luuakse tingimused üleminekuks täisarvudelt reaalarvudele, mõõtmistulemuse väljendamiseks murdarvuna (lihtne ja kümnend – lõplik ja siis lõpmatu).

Pealegi võib esialgne olla mõõtmisoperatsiooniga tutvumine, lõpptulemuse saamine kümnendmurrud ja õppida, kuidas nendega käituda. Kui õpilased seda mõõtmistulemuse salvestamise vormi juba teavad, siis see on eelduseks ideele "viskamiseks", et arvu saab väljendada ka lõpmatu murduna. Ja see eeldus on soovitav luua juba põhikooli sees.

Kui murdarvu (ratsionaalarvu) mõiste kooliaritmeetika pädevusest eemaldada, läheb selle ja "algebra" vaheline piir mööda täis- ja reaalarvude erinevuse joont. Just see "lõikab" matemaatika kursuse kaheks osaks. See ei ole lihtne erinevus, vaid allikate – arvestuste ja mõõtmiste – põhimõtteline "dualism".

Järgides Lebesgue'i ideid seoses " üldine kontseptsioon number", on võimalik tagada matemaatika õpetamise täielik ühtsus, kuid alles sellest hetkest ja pärast seda, kui lapsed on konto ja terve (loomuliku) arvuga tutvunud. Muidugi võib selle eeltutvuse ajastus olla erinev (s. traditsioonilistes põhikooliprogrammides on need selgelt hilinenud), elementaararitmeetika kursusel saate isegi tutvustada praktiliste mõõtmiste elemente (mis toimub programmis), kuid see kõik ei eemalda erinevust aritmeetika aluste ja " algebra" õppeainetena. suuruste mõõtmise ja reaalmurdudele üleminekuga seotud lõigud „juurdusid. Programmi autorid ja metoodikud püüavad säilitada aritmeetika kui kooliaine stabiilsust ja „puhtust". See erinevus allikates on peamine. matemaatika õpetamise põhjus skeemi järgi - kõigepealt aritmeetika (täisarv), seejärel "algebra" (reaalarv).

See skeem tundub üsna loomulik ja vankumatu, pealegi on seda õigustanud aastatepikkune praktika matemaatika õpetamisel. Kuid on asjaolusid, mis loogilis-psühholoogilisest vaatenurgast nõuavad selle jäiga õpetusskeemi legitiimsuse põhjalikumat analüüsi.

Fakt on see, et hoolimata kõigist seda tüüpi numbrite erinevustest, viitavad need konkreetselt numbritele, s.t. kvantitatiivsete seoste kuvamise erivormile. Täis- ja reaalarvude kuulumine "arvudesse" on aluseks geneetilise tuletise oletamisele ning loendamise ja mõõtmise erinevustele: neil on spetsiaalne ja üksainus allikas, mis vastab arvu enda kujule. Selle loendamise ja mõõtmise ühtse aluse tunnuste tundmine võimaldab selgemalt esitada ühelt poolt nende päritolutingimusi ja teiselt poolt seost.

Mille poole pöörduda, et leida hargneva arvupuu ühisjuur? Tundub, et ennekõike on vaja analüüsida suurusjärgu mõiste sisu. Tõsi, selle terminiga seostub kohe teine ​​termin – mõõtmine. Sellise seose õiguspärasus ei välista aga "väärtuse" tähenduse teatud sõltumatust. Selle aspekti arvestamine võimaldab teha järeldusi, mis ühelt poolt viivad mõõtmise kokku loendamisega, teisalt aga opereerivad arvudega, millel on mingid üldised matemaatilised seosed ja mustrid.

Niisiis, mis on "väärtus" ja mis on selle huvi koolimatemaatika algosade konstrueerimisel?

Tavakasutuses on mõiste "väärtus" seotud mõistetega "võrdne", "rohkem", "vähem", mis kirjeldavad erinevaid omadusi (pikkus ja tihedus, temperatuur ja valgesus). V.F. Kagan tõstatab küsimuse, millised ühised omadused neil mõistetel on. Ta näitab, et need viitavad kogudele – homogeensete objektide kogumitele, mille elementide võrdlemine võimaldab rakendada mõisteid "suurem kui", "võrdne", "vähem kui" (näiteks kõigi sirgete kogude kohta). joonelõigud, kaalud, kiirused jne).

Objektide kogum teisendatakse väärtuseks ainult siis, kui on kehtestatud kriteeriumid, mis võimaldavad selle mis tahes elemendi A ja B suhtes kindlaks teha, kas A on võrdne B-ga, suurem kui B või väiksem kui B. aeg, mis tahes kahe elemendi A ja B puhul üks ja ainult üks suhetest: A=B, A>B, A<В.

Need laused moodustavad täieliku disjunktsiooni (esineb vähemalt üks, kuid igaüks välistab kõik teised).

V.F. Kagan toob välja järgmised kaheksa põhiomadust mõistetele "võrdne", "suurem", "vähem": (, lk 17-31).

1) Kehtib vähemalt üks järgmistest seostest: A=B, A>B, A<В.

2) Kui seos A = B kehtib, siis seos A ei kehti<В.

3) Kui seos A=B kehtib, siis seos A>B ei kehti.

4) Kui A=B ja B=C, siis A=C.

5) Kui A>B ja B>C, siis A>C.

6) Kui A<В и В<С, то А<С.

7) Võrdsus on pöörduv seos: seos A=B eeldab alati seost B=A.

8) Võrdsus on vastastikune seos: olenemata vaadeldava hulga elemendist A, A=A.

Esimesed kolm lauset iseloomustavad põhiseoste disjunktsiooni "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Need V.F. väljundomadused. Kagan kirjeldab kaheksa teoreemi kujul:

I. Seos A>B välistab seose B>A (A<В исключает В<А).

II. Kui A>B, siis B<А (если А<В, то В>AGA).

III. Kui A>B kehtib, siis A ei kehti.

IV. Kui A1=A2, A2=A3,..., An-1=A1, siis A1=An.

V. Kui A1>A2, A2>A3,..., An-1>An, siis A1>An.

VI. Kui A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Kui A=C ja B=C, siis A=B.

VIII. Kui on võrdsus või ebavõrdsus A \u003d B või A\u003e B või A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

kui A=B ja A=C, siis C=B;

kui A>B ja A=C, siis C>B jne).

Võrdluspostulaadid ja teoreemid, osutab V.F. Kagan, "on ammendatud kõik need mõistete "võrdne", "rohkem" ja "vähem" omadused, mis matemaatikas on nendega seotud ja leiavad enda jaoks rakendust sõltumata hulga individuaalsetest omadustest, mille elementidele me neid rakendame. erinevatel erijuhtudel" (, lk 31).

Postulaatides ja teoreemides näidatud omadused võivad iseloomustada mitte ainult neid objektide otseseid tunnuseid, mida oleme harjunud seostama sõnadega "võrdne", "suurem", "vähem", vaid ka paljude muude tunnustega (näiteks võivad need iseloomustada seost "esivanem - järeltulija"). See võimaldab meil asuda nende kirjeldamisel üldisele vaatepunktile ja kaaluda näiteks nende postulaatide ja teoreemide seisukohalt mis tahes kolme tüüpi seoseid "alfa", "beeta", "gamma" (antud juhul , saab kindlaks teha, kas need seosed vastavad postulaatidele ja teoreemidele ning millistel tingimustel).

Sellest vaatenurgast võib vaadelda näiteks sellist asjade omadust nagu kõvadus (kõvam, pehmem, võrdne kõvadus), sündmuste jada ajas (järgimine, ülimuslikkus, samaaegsus) jne. Kõigil neil juhtudel saavad suhtarvud "alfa", "beeta", "gamma" oma konkreetse tõlgenduse. Ülesanne, mis on seotud selliste kehade komplekti valimisega, millel need seosed oleksid, samuti märkide tuvastamine, mille abil saaks iseloomustada "alfa", "beeta", "gamma" - see on võrdluse määramise ülesanne. kriteeriumid selles kehade komplektis (praktiliselt ei ole mõnel juhul lihtne seda lahendada). "Võrdluskriteeriumide kehtestamisega muudame komplekti väärtuseks," kirjutas V.F. Kagan (, lk 41).

Reaalseid objekte saab käsitleda erinevate kriteeriumide vaatenurgast. Seega võib inimrühma käsitleda sellise kriteeriumi järgi nagu iga selle liikme sünnihetkede jada. Teine kriteerium on suhteline asend, mille nende inimeste pead võtavad, kui nad asetatakse kõrvuti samal horisontaaltasapinnal. Igal juhul tõlgitakse rühm väärtuseks, millel on sobiv nimi - vanus, pikkus. Praktikas ei tähistata väärtust tavaliselt justkui elementide komplekti endaga, vaid võrdluskriteeriumide eristamiseks kasutusele võetud uue mõistega (väärtuse nimi). Nii tekivad mõisted "maht", "kaal", "elektripinge" jne. "Samas on matemaatiku jaoks väärtus üsna kindel, kui on näidatud elementide kogum ja võrdluskriteeriumid," märkis V.F. Kagan (, lk 47).

Matemaatilise suuruse kõige olulisema näitena käsitleb see autor arvude naturaalseid jadasid. Sellise võrdluskriteeriumi seisukohast, nagu arvude hõivatud positsioon reas (asuvad ühe koha, järgneb ..., eelneb), vastab see seeria postulaatidele ja esindab seetõttu suurusjärku. Vastavalt asjakohastele võrdluskriteeriumidele teisendatakse ka murdude hulk väärtuseks.

Selline, vastavalt V.F. Kagan, kvantiteediteooria sisu, mis mängib kogu matemaatika põhjendamisel üliolulist rolli.

Kogustega töötades (soovitav on nende individuaalsed väärtused tähtedega fikseerida) on võimalik luua keerukas teisenduste süsteem, mis määrab nende omaduste sõltuvused, liigub võrdsusest ebavõrdsusse, teeb liitmist (ja lahutamist) ja lisamisel saab juhinduda kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest. Seega, kui on antud suhe A=B, siis ülesandeid "lahendades" saab juhinduda suhtarvust B=A. Teisel juhul võime suhtarvude A>B, B=C olemasolul järeldada, et A>C. Kuna a>b jaoks on olemas c, et a=b+c, ​​leiame erinevuse a ja b vahel (a-b=c) ja nii edasi. Kõiki neid teisendusi saab teha füüsilised kehad ja muid objekte, seades võrdluse kriteeriumid ja valitud seoste vastavuse võrdluspostulaatidele.

Eeltoodud materjalid võimaldavad järeldada, et nii naturaal- kui ka reaalarvud on võrdselt tugevalt seotud suuruste ja nende mõningate oluliste tunnustega. Kas neid ja teisi omadusi on võimalik teha lapse eriuuringu objektiks juba enne suurusjärkude suhte kirjeldamise numbrilise vormi kasutuselevõttu? Need võivad olla eelduseks numbri ja selle järgnevaks üksikasjalikuks tutvustamiseks erinevad tüübid, eelkõige murdude propedeutika, koordinaatide, funktsioonide ja muude mõistete jaoks juba madalamates klassides.

Mis võiks olla selle esialgse osa sisu? See on tutvumine füüsiliste objektidega, nende võrdluskriteeriumid, väärtuse kui matemaatilise kaalutlusobjekti esiletõstmine, võrdlusmeetodite ja selle tulemuste fikseerimise märgivahendite tundmine, suuruste üldiste omaduste analüüsimise meetoditega. Seda sisu tuleb laiendada suhteliselt üksikasjalikuks õpetamisprogrammiks ja, mis kõige tähtsam, siduda lapse nende tegevustega, mille kaudu ta saab seda sisu omandada (muidugi sobivas vormis). Samal ajal on vaja eksperimentaalselt, eksperimentaalselt kindlaks teha, kas 7-aastased lapsed saavad seda programmi omandada ja milline on selle kasutuselevõtu otstarbekus järgnevaks matemaatika õpetamiseks algklassides aritmeetika ja aritmeetika lähenemise suunas. elementaaralgebra.

Seni on meie arutelud olnud oma olemuselt teoreetilised ja suunatud matemaatiliste eelduste selgitamisele sellise algse kursuse lõigu koostamiseks, mis tutvustaks lastele algebralisi põhimõisteid (enne arvu spetsiaalset kasutuselevõttu).

Peamisi suurusi iseloomustavaid omadusi on kirjeldatud eespool. Loomulikult on 7-aastastel lastel mõttetu lugeda nende omaduste kohta "loenguid". Lastele oli vaja leida selline töövorm didaktiline materjal, mille abil nad saaksid ühelt poolt neid omadusi ümbritsevates asjades paljastada, teisalt õpiksid neid teatud sümboolikaga fikseerima ja elementaarseid ellu viima. matemaatiline analüüs esile tõstetud suhted.

Sellega seoses peaks programm sisaldama esiteks viidet aine omadustele, mida tuleb omandada, teiseks didaktiliste materjalide kirjeldust, kolmandaks ja see on psühholoogilisest vaatenurgast peamine, omadused. nendest tegevustest, mille kaudu laps tuvastab objekti teatud omadused ja omandab need. Need "koostisosad" moodustavad õppeprogrammi selle sõna õiges tähenduses.

Selle hüpoteetilise programmi ja selle "komponentide" eripära on mõttekas kirjeldada õppeprotsessi enda ja selle tulemuste kirjeldamisel. Siin on selle programmi diagramm ja selle peamised teemad.

Teema I. Esemete võrdsustamine ja omandamine (pikkuse, mahu, kaalu, osade koostise ja muude parameetrite järgi).

Praktilised ülesanded tasandamiseks ja korjamiseks. Märkide (kriteeriumide) eraldamine, mille abil saab samu objekte võrdsustada või täiendada. Nende märkide sõnaline tähistamine ("pikkuse, kaalu järgi" jne).

Neid ülesandeid lahendatakse didaktilise materjaliga (liistud, raskused jne) töötamise käigus:

"sama" teema valik,

"Sama" objekti reprodutseerimine (konstrueerimine) vastavalt valitud (määratud) parameetrile.

Teema II. Objektide võrdlemine ja selle tulemuste fikseerimine võrdsuse-võrratuse valemiga.

1. Ülesanded objektide võrdlemiseks ja selle tegevuse tulemuste sümboolne tähistamine.

2. Võrdlustulemuste sõnaline fikseerimine (mõisted "suurem kui", "väiksem kui", "võrdne"). Tähed ">", "<", "=".

3. Võrdlustulemuse tähistamine joonisega ("kopeerimine" ja seejärel "abstraktne" - jooned).

4. Võrreldavate objektide tähistamine tähtede järgi. Võrdlustulemuse fikseerimine valemitega: A=B; AGA<Б, А>b.

Täht kui märk, mis fikseerib objekti otse antud, privaatse väärtuse vastavalt valitud parameetrile (kaalu, mahu jne järgi).

5. Võrdlustulemuse fikseerimise võimatus erinevate valemitega. Konkreetse valemi valik antud tulemuse jaoks (seoste täielik disjunktsioon on suurem kui - väiksem kui - võrdne).

III teema. Võrdsuse ja ebavõrdsuse omadused.

1. Võrdsuse pöörduvus ja refleksiivsus (kui A=B, siis B=A; A=A).

2. Seoste "suurem kui" ja "väiksem kui" seos võrreldavate külgede "permutatsioonidega" (kui A>B, siis B<А и т.п.).

3. Transitiivsus kui võrdsuse ja ebavõrdsuse omadus:

kui A=B, kui A>B, kui A<Б,

a B=C, a B>C, a B<В,

siis A=B; siis A>B; siis üks<В.

4. Üleminek töölt õppeaine didaktilise materjaliga võrdsuse-ebavõrdsuse omaduste hinnangutele ainult sõnasõnaliste valemite olemasolul. Erinevate ülesannete lahendamine, mis nõuavad nende omaduste tundmist (näiteks tüüpi seoste seostega seotud ülesannete lahendamine: on antud, et A>B, ja B=C; selgitada välja seos A ja C vahel).

IV teema. Liitumise (lahutamise) tehe.

1. Objektide muutuste vaatlused ühe või teise parameetri järgi (mahu, kaalu, kestuse jne järgi). Pilt suurendamisest ja vähendamisest märkide "+" ja "-" abil (pluss ja miinus).

2. Varem kehtestatud võrdsuse rikkumine selle ühe või teise poole vastava muutmisega. Üleminek võrdsusest ebavõrdsusele. Valemite kirjutamine nagu:

kui A = B, kui A = B,

siis A+K>B; siis A-K<Б.

3. Uuele võrdsusele ülemineku viisid (selle "taastamine" põhimõttel: "võrdne" lisamine "võrdsele" annab "võrdse").

Töötamine selliste valemitega nagu:

siis A+K>B,

aga A+K=B+K.

4. Erinevate ülesannete lahendamine, mis nõuavad liitmise (lahutamise) tehte kasutamist üleminekul võrdsusest ebavõrdsusele ja vastupidi.

Teema V. Üleminek A-tüüpi ebavõrdsusest<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Sellist üleminekut nõudvad ülesanded. Vajadus määrata väärtuse väärtus, mille võrra võrreldavad objektid erinevad. Võimalus registreerida võrdus selle suuruse teadmata konkreetse väärtusega. Kuidas kasutada x (x).

Valemite kirjutamine nagu:

kui A<Б, если А>B,

siis A+x=B; siis A-x=B.

2. x väärtuse määramine. Selle väärtuse asendamine valemis (sulgude tundmine). Sisestage valemid

3. Nende toimingute sooritamist nõudvate ülesannete (sealhulgas "süžeeteksti") lahendamine.

Teema Vl. Võrdluste-võrratuste liitmine-lahutamine. Asendamine.

1. Võrdsete-võrratuste liitmine-lahutamine:

kui A=B kui A>C kui A>C

ja M = D ja K> E ja B = G,

siis A+M=B+D; siis A+K>B+E; siis A+-B>C+-D.

2. Võimalus esitada suuruse väärtus mitme väärtuse summana. Tüübi asendamine:

3. Erinevate ülesannete lahendamine, mis nõuavad nende suhete omaduste arvestamist, millega lapsed töö käigus kokku puutuvad (paljud ülesanded nõuavad mitme omaduse samaaegset arvestamist, kiiret mõistust valemite tähenduse hindamisel; ülesannete kirjeldust ja lahendused on toodud allpool).

See on programm, mis on mõeldud 3,5-4 kuuks. esimene poolaasta. Nagu näitab eksperimentaalse õpetamise kogemus, on õige tunni planeerimise, õppemeetodite täiustamise ja didaktiliste abivahendite eduka valiku korral kogu programmis esitatud materjal lastele lühema perioodi jooksul (3 kuuga) täielikult omastatav.

Kuidas meie programm edeneb? Esiteks tutvuvad lapsed arvu saamise meetodiga, väljendades objekti kui terviku (sama väärtus, mida esindab pidev või diskreetne objekt) suhet selle osasse. Seda suhet ennast ja selle spetsiifilist tähendust esindab valem A / K \u003d n, kus n on mis tahes täisarv, väljendades enamasti suhet täpsusega "üks" (ainult spetsiaalse materjalivalikuga või ainult loendamisel " kvalitatiivselt" üksikuid asju, saate absoluutselt täpse täisarvu). Lapsed on algusest peale "sunnitud" arvestama, et mõõtmisel või loendamisel võib saada jääkaineid, mille olemasolu tuleb eraldi ette näha. See on esimene samm edasiseks tööks murdarvuga.

Selle arvu saamise vormiga pole keeruline panna lapsi kirjeldama objekti sellise valemiga nagu A = 5k (kui suhe oli võrdne "5"). Koos esimese valemiga avab see võimalused objekti, aluse (mõõdu) ja loendustulemuse (mõõtmise) vaheliste suhete eriliseks uurimiseks, mis toimib ka propedeutikana murdarvudele üleminekul (eriti murdu põhiomaduse mõistmiseks).

Teine programmi juurutamise rida, mida on juba I klassis rakendatud, on kvantiteedi põhiomaduste (võrdsuse-ebavõrdsuse disjunktsioonid, transitiivsus, pöörduvus) ülekandmine arvudele (täisarvudele) ja liitmise operatsioon (kommutatiivsus, assotsiatiivsus, monotoonsus, lahutamise võimalus). Eelkõige saavad lapsed numbrite jada kiiresti väärtuseks muuta (näiteks hinnata selgelt nende transitiivsust, tehes selliseid kirjeid nagu 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Mõne võrdõiguslikkuse nn "struktuurilise" tunnusega tutvumine võimaldab lastel läheneda liitmise ja lahutamise suhtele teistmoodi. Seega tehakse ebavõrdsusest võrdsusele üleminekul järgmised teisendused: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; leida valemi vasaku ja parema osa vaheline seos punktides 8+1-4...6+3-2; ebavõrdsuse korral viige see avaldis võrdsusse (kõigepealt peate panema märki "vähem" ja seejärel lisama vasakule küljele "kaks").

Seega võimaldab arvurea käsitlemine suurusena uudsel viisil kujundada liitmise-lahutamise (ja seejärel korrutamise-jagamise) oskusi.

Teatavasti kulub 5. klassis matemaatikat õppides märkimisväärne osa ajast kordamisele, mida lapsed oleks pidanud põhikoolis õppima. See kordamine peaaegu kõigis olemasolevates õpikutes võtab 1,5 akadeemilist veerandit. Selline olukord ei tekkinud juhuslikult. Selle põhjuseks on keskkooli matemaatikaõpetajate rahulolematus põhikoolilõpetajate ettevalmistusega. Mis on selle olukorra põhjus? Selleks analüüsiti viit tänapäeval tuntuimat põhikooli matemaatikaõpikut. Need on õpikud M.I. Moro, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Peterson ja V.V. Davõdov (, , , , ).

Nende õpikute analüüsimisel ilmnesid mitmed negatiivsed aspektid, mis on suuremal või vähemal määral igas neist olemas ja mõjutavad edasist õppimist negatiivselt. Esiteks on asi selles, et neis sisalduva materjali assimilatsioon põhineb suuresti meeldejätmisel. Selle ilmekaks näiteks on korrutustabeli päheõppimine. Põhikoolis kulub selle päheõppimisele palju aega ja vaeva. Kuid suvevaheajal unustavad lapsed selle ära. Sellise kiire unustamise põhjuseks on päheõppimine. Uurige L.S. Võgotski näitas, et mõtestatud meeldejätmine on palju tõhusam kui mehaaniline ja hilisemad katsed tõestavad veenvalt, et materjal jõuab pikaajalist mällu vaid siis, kui see on pähe õpitud sellele materjalile vastava töö tulemusena.

50ndatel leiti viis korrutustabeli tõhusaks assimileerimiseks. See seisneb teatud harjutuste süsteemi korraldamises, mida sooritades koostavad lapsed ise korrutustabeli. Seda meetodit ei rakendata aga üheski läbivaadatud õpikus.

Negatiivne punkt, mis mõjutab edasist haridust, on see, et paljudel juhtudel on põhikooli matemaatikaõpikutes materjali esitamine üles ehitatud nii, et edaspidi tuleb lapsi uuesti õpetada ja see, nagu teate, on palju enamat. raskem kui õpetamine. Seoses algebralise materjali uurimisega on näiteks võrrandite lahendamine põhikoolis. Kõigis õpikutes lähtutakse võrrandite lahendamisel tegevuste tundmatute komponentide leidmise reeglitest.

Mõnevõrra teisiti tehakse seda vaid õpikus L.G. Peterson, kus näiteks korrutamise ja jagamise võrrandite lahendamine põhineb võrrandi komponentide korrelatsioonil ristküliku külgede ja pindalaga ning taandub sellest tulenevalt ka reeglitele, kuid need on ristküliku külje või ala leidmise reeglid. Vahepeal õpetatakse lastele alates 6. klassist võrrandite lahendamiseks täiesti teistsugust põhimõtet, mis põhineb identsete teisenduste rakendamisel. See ümberõppimisvajadus toob kaasa asjaolu, et võrrandite lahendamine on enamiku laste jaoks üsna raske hetk.

Õpikuid analüüsides puutusime kokku ka sellega, et neis sisalduva materjali esitamisel esineb sageli mõistete moonutamist. Näiteks on paljude definitsioonide sõnastus antud implikatsioonidena, samas kui matemaatilisest loogikast on teada, et igasugune definitsioon on ekvivalents. Näitena võime tuua korrutamise definitsiooni õpikust I.I. Arginskaja: "Kui kõik summas olevad liikmed on üksteisega võrdsed, saab liitmise asendada teise toiminguga - korrutamisega." (Kõik summas olevad liikmed on üksteisega võrdsed. Seetõttu võib liitmise asendada korrutamisega.) Nagu näete, on see implikatsioon selle kõige puhtamal kujul. Selline sõnastus ei ole mitte ainult matemaatika seisukohast kirjaoskamatu, vaid ei kujunda lastel mitte ainult valesti aimu, mis on definitsioon, vaid on ka väga kahjulik, kuna tulevikus, näiteks korrutise koostamisel. tabelis, õpikute autorid kasutavad toote asendamist identsete terminite summaga, mida käesolev sõnastus ei võimalda. Selline ebakorrektne töö implikatsiooni kujul kirjutatud väidetega moodustab lastes vale stereotüübi, millest geomeetriatundides ületatakse suuri raskusi, kui lapsed ei tunne vahet otsese ja pöördlause, figuurimärgi vahel. ja selle vara. Viga, kui ülesannete lahendamisel kasutatakse pöördteoreemi, samas kui tõestatakse ainult otsene, on väga levinud viga.

Teine näide mõistete ebaõigest moodustamisest on töö sõnasõnalise võrdsuse suhtega. Näiteks arvu ühe ja arvu nulliga korrutamise reeglid kõigis õpikutes on antud sõnasõnalises vormis: a x 1 \u003d a ja x 0 \u003d 0. Võrdsussuhe, nagu teate, on sümmeetriline ja seetõttu näeb selline tähistus ette mitte ainult seda, et 1-ga korrutamisel saadakse sama arv, vaid ka seda, et mis tahes arvu saab esitada selle arvu ja ühe korrutisena. Õpikutes pärast kirjamärkimist välja pakutud sõnaline sõnastus räägib aga ainult esimesest võimalusest. Selleteemalised harjutused on samuti suunatud ainult arvu ja ühe korrutise asendamisele selle arvuga. Kõik see ei too kaasa mitte ainult tõsiasja, et väga oluline punkt ei muutu laste teadvuse teemaks: korrutisena saab kirjutada mis tahes arvu, mis algebras tekitab polünoomidega töötades asjakohaseid raskusi, vaid ka tõsiasja. et lapsed põhimõtteliselt ei tea, kuidas võrdõiguslikkusega õigesti töötada. Näiteks ruutude erinevuse valemiga töötades saavad lapsed reeglina hakkama ruutude erinevuse teguriteks jaotamise ülesandega. Need ülesanded, mille puhul on paljudel juhtudel vaja vastupidist tegevust, põhjustavad aga raskusi. Veel üks selle idee ilmekas näide on töö korrutamise jaotusseadusega liitmise suhtes. Ka siin töötavad nii selle sõnasõnaline sõnastus kui ka harjutuste süsteem vaatamata seaduse sõnasõnalisele tähistusele ainult sulgude avamise võime. Seetõttu põhjustab ühise teguri sulgudest väljavõtmine tulevikus olulisi raskusi.

Üsna sageli julgustab õpetamine põhikoolis isegi siis, kui definitsioon või reegel on õigesti sõnastatud, tuginema mitte neile, vaid millelegi täiesti erinevale. Näiteks korrutustabelit 2-ga uurides näitavad kõik läbivaadatud õpikud, kuidas seda konstrueerida. Õpikus M.I. Moro tegi seda nii:

Selle töömeetodiga märkavad lapsed väga kiiresti saadud numbriseeria mustrit.

Juba pärast 3–4 võrdsust lõpetavad nad kahe lisamise ja hakkavad saadud mustri alusel tulemust kirja panema. Seega ei saa korrutustabeli koostamise meetod nende teadvuse subjektiks, mille tulemuseks on selle habras assimilatsioon.

Põhikoolis materjali õppimisel toetutakse objektiivsele tegevusele ja illustreerivale visualiseerimisele, mis viib empiirilise mõtlemise kujunemiseni. Sellise nähtavuseta põhikoolis muidugi vaevalt läbi saab. Kuid see peaks olema ainult selle või selle fakti illustratsioon, mitte aga kontseptsiooni kujunemise alus. Illustreeriva visualiseerimise ja objektiivsete tegevuste kasutamine õpikutes viib sageli selleni, et mõiste ise on "hägune". Näiteks 1.–3. klasside matemaatika metoodikas on M.I. Moreau ütleb, et lapsed peavad 30 õppetunni jooksul jagama, esemeid hunnikutesse panema või joonistama. Selliste toimingute taga läheb kaduma jagamistehte kui tegevuse olemus, korrutamise pöördväärtus. Selle tulemusena assimileeritakse jagamine kõige raskemini ja palju halvemini kui teised aritmeetilised tehted.

Põhikoolis matemaatikat õpetades ei ole kuskil küsimus mingite väidete tõestamises. Samas, pidades silmas tõendi õpetamise raskust keskkoolis, tuleb selleks hakata valmistuma juba algklassides. Pealegi saab seda teha materjalil, mis on noorematele õpilastele üsna kättesaadav. Selliseks materjaliks võivad olla näiteks arvu jagamise reeglid 1-ga, nulli arvuga ja arvu endaga. Lapsed suudavad neid jagamise definitsiooni ja vastavate korrutamisreeglite abil üsna hästi tõestada.

Põhikooli materjal võimaldab ka algebra propedeutikat – tööd tähtede ja sõnasõnaliste väljenditega. Enamik õpikuid väldib tähtede kasutamist. Selle tulemusena töötavad lapsed neli aastat peaaegu eranditult numbritega, pärast mida on muidugi väga raske tähtedega töötamist õpetada. Küll aga on võimalik juba põhikoolis tagada sellise töö propedeutika, õpetada lastele tähe asemel numbri asendamist tähtväljendiga. Seda teeb näiteks õpikus L.G. Peterson.

Rääkides matemaatika õpetamise puudujääkidest algklassides, mis takistavad edasiõppimist, tuleb rõhutada tõsiasja, et sageli esitatakse õpikutes materjal ilma, et vaadataks, kuidas see edaspidi toimib. Selle väga ilmekas näide on 10, 100, 1000 jne korrutamise assimilatsiooni korraldamine. Kõigis läbi vaadatud õpikutes on selle materjali esitlus üles ehitatud nii, et see viib paratamatult laste teadvuses reegli kujunemiseni: "Arvu korrutamiseks 10, 100, 1000 jne. et lisada sellele paremal pool sama palju nulle, kui on 10, 100, 1000 jne. See reegel on üks neist, mida põhikoolis väga hästi õpitakse. Ja see toob kaasa suure hulga vigu, kui korrutada kümnendmurrud täisarvu bitiühikutega. Isegi kui nad on uue reegli pähe õppinud, lisavad lapsed 10-ga korrutamisel paremal asuvale kümnendmurrule automaatselt nulli. Lisaks tuleb märkida, et naturaalarvu korrutamisel ja kümnendmurru korrutamisel täisarvu bitiühikutega juhtub tegelikult sama: iga numbri number nihutatakse vastava arvu numbrite võrra paremale. Seetõttu pole mõtet lastele kahte eraldiseisvat ja täiesti formaalset reeglit õpetada. Palju kasulikum on õpetada neile selliste ülesannete lahendamisel üldist tegevusmeetodit.

2.1 Mõistete võrdlemine (opositsioon) matemaatikatundides

Praegune programm näeb ette I klassis ainult kahe esimese etapi toimingu - liitmise ja lahutamise - õppimist. Esimese õppeaasta piirdumine vaid kahe tegevusega on sisuliselt kõrvalekalle sellest, mis oli saavutatud juba praegustele eelnenud õpikutes: mitte ükski õpetaja ei kurtnud siis, et korrutamine ja jagamine näiteks 20 piires. , oli esimese klassi õpilastele üle jõu. . Tähelepanuväärne on ka see, et teiste riikide koolides, kus haridus algab 6-aastaselt, hõlmab esimene õppeaasta esmane tutvumine kõigi nelja aritmeetikatehtega. Matemaatika toetub eelkõige neljale tegevusele ning mida varem need koolilapse mõtlemispraktikasse kaasatakse, seda stabiilsem ja usaldusväärsem on matemaatikakursuse edasine areng.

Ausalt öeldes tuleb märkida, et M. I. Moro I klassi õpikute esimestes versioonides oli korrutamine ja jagamine ette nähtud. Juhus aga takistas asja: uute saadete autorid hoidsid järjekindlalt kinni ühest "uudsusest" - kõigi liitmise ja lahutamise juhtumite kajastamisest esimeses klassis 100 piires (37 + 58 ja 95-58 jne). Kuna aga nii suure infohulga uurimiseks ei jätkunud aega, otsustati korrutamine ja jagamine täielikult nihutada järgmisele õppeaastale.

Niisiis võttis kirg programmi lineaarsuse, st teadmiste puhtkvantitatiivse laiendamise (samad toimingud, kuid suurte arvudega) vastu aega, mis oli varem eraldatud teadmiste kvalitatiivseks süvendamiseks (kõigi nelja toimingu uurimine). kahe tosina jooksul). Korrutamise ja jagamise õpe juba esimeses klassis tähendab kvalitatiivset hüpet mõtlemises, kuna see võimaldab teil hallata volditud mõtteprotsesse.

Traditsiooniliselt oli omaette teemaks liitmise ja lahutamise tehte uurimine piires 20. Vajadus sellise lähenemise järele teadmiste süstematiseerimisel ilmneb juba probleemi loogilisest analüüsist: fakt on see, et ühekohaliste arvude täielik liitmistabel. kasutatakse kahe kümne jooksul (0 + 1 = 1, ...,9+9=18). Seega moodustavad arvud 20 piires oma sisemistes seostes tervikliku seostesüsteemi; see seletab "Kahekümne" säilitamise otstarbekust teise tervikliku teema kujul (esimene selline teema on tegevused esimese kümne sees).

Käsitletav juhtum on just selline, kus kontsentrilisus (teise kümne eriteemana hoidmine) osutub soodsamaks kui lineaarsus (teise kümne "lahustumine" "saja" teemasse).

M.I.Moro õpikus on esimese kümne uurimine jagatud kaheks isoleeritud osaks: esiteks uuritakse esimese kümne numbrite koostist ja järgmises teemas käsitletakse tegevusi 10 piires. Eksperimentaalses õpikus P.M. Erdniev, vastupidiselt sellele, viidi läbi ühine uuring nummerdamisest, arvude koostisest ja tehtetest (liitmine ja lahutamine) 10 piires korraga ühes jaotises. Selle lähenemise korral kasutatakse arvude monograafilist uurimist, nimelt: vaadeldava arvu sees (näiteks 3) saadakse kohe aru kogu “kättesaadav matemaatika”: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3-2 = 1.

Kui praeguste programmide järgi oli esikümne õppimiseks ette nähtud 70 tundi, siis eksperimentaalõppe puhul õpiti kogu see materjal läbi 50 tunniga (pealegi mõned lisamõisted, mis ei olnud talliõpikus, vaid struktuurselt seotud põhimaterjaliga, käsitleti väljaspool programmi).

Erilise tähelepanu pööramine algõpetuse metoodikas nõuab ülesannete klassifikatsiooni, nende tüüpide nimetuste küsimust. Metoodikute põlvkonnad töötasid kooliprobleemide süsteemi korrastamise, nende tõhusate liikide ja sortide loomise nimel kuni koolis õppimiseks ette nähtud ülesannete nimetuste edukate terminite valikuni. Teadaolevalt pühendatakse nende lahendamisele matemaatikatundides vähemalt pool õppeajast. Kooliülesanded tuleb loomulikult süstematiseerida ja klassifitseerida. Milliseid (tüüpi) ülesandeid uurida, millal õppida, millist tüüpi uurida seoses konkreetse jaotise läbimisega - see on metoodika ja programmide keskse sisu legitiimne uurimisobjekt. Selle asjaolu olulisus ilmneb matemaatika metoodika ajaloost.

Autori eksperimentaalsetes õppevahendites on erilist tähelepanu pööratud ülesannete liigitamisele ning nende vajalike liikide ja sortide jaotamisele õppetööks konkreetses klassis. Praeguseks on klassikalised ülesandeliikide nimetused (summa leidmiseks, tundmatu termin jne) kadunud isegi stabiilse esimese klassi õpiku sisukorrast. Prooviõpikus P.M. Erdniev, need nimed "töötavad": need on kasulikud didaktiliste verstapostidena mitte ainult õpilasele, vaid ka õpetajale. Toome välja proovimatemaatikaõpiku esimese teema sisu, mida iseloomustab mõistete loogiline terviklikkus.

esimene kümme

Ülaltoodud mõiste võrdlus - all, vasakule - paremale, vahele, lühem - pikem, laiem - kitsam, paksem - õhem, vanem - noorem, kaugemal - lähemal, aeglasem - kiirem, kergem - raskem, väike - a palju.

Esimese kümne numbrite monograafiline uurimine: nimetus, tähistus, võrdlus, numbrite edasilükkamine kontodel ja numbrite tähistamine arvuvihul; märgid: võrdne (=), mitte võrdne (¹), suurem kui (>), väiksem kui (<).

Sirged ja kumerad jooned; ring ja ovaal.

Punkt, joon, lõik, nende tähistamine tähtedega; segmendi pikkuse mõõtmine ja etteantud pikkusega segmentide maha panemine; tähistamine, nimetamine, ehitamine, võrdsete kolmnurkade, võrdsete hulknurkade väljalõikamine. Hulknurga elemendid: tipud, küljed, diagonaalid (nende tähistamine tähtedega).

Arvude monograafiline uuring kõnealuses numbris:

arvude kompositsioon, liitmine ja lahutamine.

Liitmise ja lahutamise komponentide nimetus.

Neli näidet liitmise ja lahutamise kohta:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformeeritud näited (puuduvate numbrite ja märkidega):

X + 5 = 7; 6 - X = 4; 6 = 3A2.

Ülesannete lahendamine summa ja liikme, vahe, taandamise ja lahutamise leidmisel. Vastastikku pöördülesannete koostamine ja lahendamine.

Kolm ülesannet: suurendada ja vähendada arvu mitme ühiku võrra ning teha erinevuste võrdlus. Segmentide võrdlus pikkuse järgi.

Kommutatiivne liitmise seadus. Summa muutus sõltuvalt muutusest ühe tähtaja jooksul. Seisukord, kui summa ei muutu. Lihtsamad sõnasõnalised avaldised: a + b = b + a, a + 0 = a, a - a = 0.

Ülesannete koostamine ja lahendamine väljenduse abil.

Järgnevas ettekandes käsitleme selle koolimatemaatika algse osa esitamise meetodi põhiküsimusi, pidades silmas, et järgnevate osade esitamise meetod peaks suuresti sarnanema esimese teema materjali valdamise protsessiga.

Juba esimestel tundidel peaks õpetaja seadma endale eesmärgiks õpetada õpilast rakendama mõistepaare, mille sisu selgub nende sõnadega sobivate lausete koostamisel. (Esiteks valdame võrdlemist kvalitatiivsel tasemel, ilma numbreid kasutamata.)

Siin on näited levinuimatest mõistepaaridest, mida tuleks kasutada mitte ainult matemaatika, vaid ka kõne arendamise tundides:

Rohkem – vähem, pikem – lühem, kõrgem – madalam, raskem – kergem, laiem – kitsam, paksem – õhem, parem – vasak, kaugemal – lähemal, vanem – noorem, kiirem – aeglasem jne.

Selliste mõistepaaride kallal töötades on oluline mitte ainult õpiku illustratsioonide, vaid ka laste tähelepanekute kasutamine; nii näevad nad näiteks klassiaknast, et jõe taga on maja, ja mõtlevad välja fraasid: „Jõgi on koolile lähemal kui maja ja maja on koolist kaugemal kui jõgi. ”

Laske õpilasel vaheldumisi käes hoida raamatut ja vihikut. Õpetaja küsib: mis on raskem – raamat või märkmik? Mis on lihtsam? "Raamat on raskem kui märkmik ja märkmik on kergem kui raamat."

Olles rivistunud klassi ette klassi kõrgeima ja madalaima õpilase kõrvale, koostame kohe kaks fraasi: "Miša on kõrgem kui Kolja ja Kolja on madalam kui Miša."

Nendes harjutustes on oluline saavutada ühe kohtuotsuse grammatiliselt korrektne asendamine kahekordsega: "Kivimaja on kõrgem kui puitmaja, mis tähendab, et puitmaja on madalam kui kivimaja."

Mõistega "pikem - lühem" tutvudes saate näidata objektide pikkuse võrdlust, asetades need üksteise peale (kumb on pikem: pliiats või pliiats?).

Aritmeetika ja kõne arendamise tundides on kasulik lahendada loogikaülesandeid, mille eesmärk on õpetada vastandmõistete kasutamist: „Kes on vanem: isa või poeg? Kes on noorem: isa või poeg? Kumb sündis esimesena? Kes on hiljem?

"Võrdle raamatu ja kohvri laiust. Mis on laiem: raamat või portfell? Mis juba on – raamat või portfoolio? Kumb on raskem: raamat või kohver?

Võrdlusprotsessi õppimist saab huvitavamaks muuta nn maatriks- (tabel)harjutuste juurutamine. Tahvlile ehitatakse neljast lahtrist koosnev tabel ning selgitatakse mõistete "veerg" ja "rida" tähendust. Tutvustame mõisteid "vasak veerg" ja "parem veerg", "ülemine rida" ja "alumine rida".

Näitame (imiteerime) koos õpilastega nende mõistete semantilist tõlgendust.

Näidake veergu (lapsed liigutavad kätt ülalt alla).

Näidake vasakut veergu, paremat veergu (lapsed hoiavad kahte käekiigu ülalt alla).

Näidake joont (käega vasakult paremale).

Kuva ülemine rida, alumine joon (kaks käelainet näitavad ülemist joont, alumist rida).

On vaja tagada, et õpilased märgiksid täpselt lahtri asukoha: “ülemine vasak lahter”, “alumine parem lahter” jne. Pöördülesanne lahendatakse kohe, nimelt: õpetaja osutab tabeli (maatriksi) mõnele lahtrile. , annab õpilane sellele lahtrile sobiva nime. Seega, kui on märgitud lahter, mis asub ülemise rea ja vasaku veeru ristumiskohas, peaks õpilane nimetama: "Ülemine vasak lahter." Sellised harjutused harjutavad lapsi järk-järgult ruumilise orientatsiooniga ja on matemaatika koordinaatmeetodi hilisemal uurimisel väga olulised.

Algmatemaatika esimeste tundide jaoks on suur tähtsus tööl arvuridade kallal.

Arvuridade kasvamist ükshaaval liitmise teel illustreerib mugavalt piki numbrijoont paremale liikudes.

Kui märk (+) on seotud liikumisega mööda numbriseeriat ühe võrra paremale, siis märk (-) on seotud ühe võrra vasakule tagurpidi liikumisega jne (Seetõttu näitame mõlemat märki korraga sama õppetund.)

Arvreaga töötades tutvustame mõisteid: arvurea algus (arv null) tähistab kiire vasakut otsa; number 1 vastab ühele segmendile, mida tuleb numbriseeriast eraldi kujutada.

Laske õpilastel arvuseeriatega töötada kolme piires.

Valime suvalised kaks naabernumbrit, näiteks 2 ja 3. Liikudes numbrilt 2 numbrile 3, mõtlevad lapsed järgmiselt: "Numbrile 2 järgneb arv Z." Liikudes numbrilt 3 numbrile 2, ütlevad nad:

"Enne numbrit 3 tuleb number 2" või: "Arv 2 eelneb numbrile Z."

See meetod võimaldab määrata antud numbri koha nii eelmise kui ka järgneva numbri suhtes; kohe on paslik tähelepanu pöörata arvu asukoha suhtelisusele, näiteks: arv 3 on korraga nii järgnev (arvu 2 taga) kui ka eelnev (arvu 4 ees).

Need üleminekud piki arvjadasid tuleb seostada vastavate aritmeetiliste toimingutega.

Näiteks fraasi "numbrile 2 järgneb arv Z" kujutatakse sümboolselt järgmiselt: 2 + 1 = 3; psühholoogiliselt on aga kasulik tekitada vahetult pärast seda vastupidine mõtete seos, nimelt: väljendit “Enne numbrit 3 tuleb arv 2” toetab kirje: 3 - 1 = 2.

Mis tahes numbri kohast numbriseerias mõistmiseks tuleks esitada paarisküsimused:

1. Millisele numbrile järgneb number 3? (Arv 3 järgneb numbrile 2.) Millisele arvule eelneb arv 2? (Arv 2 tuleb enne numbrit 3.)

2. Mis number järgneb numbrile 2? (Arvule 2 järgneb number 3.) Milline arv on enne numbrit 3? (Arv 3 tuleb enne numbrit 2.)

3. Milliste arvude vahel on arv 2? (Arv 2 jääb arvude 1 ja 3 vahele.) Milline arv on arvude 1 ja 3 vahel? (Numbrite 1 ja 3 vahel on number 2.)

Nendes harjutustes sisaldub matemaatiline teave funktsionaalsete sõnadega: enne, taga, vahel.

Mugav on kombineerida tööd arvuseeriaga nii arvude suurusjärgus võrdlemisega kui ka arvude asukoha võrdlemisega arvureal. Järk-järgult arenevad geomeetrilise iseloomuga hinnangute seosed: number 4 asub arvust 3 paremal asuval arvureal; seega 4 on suurem kui 3. Ja vastupidi: arv 3 on arvureal arvust 4 vasakul; see tähendab, et arv 3 on väiksem kui arv 4. See loob seose mõistepaaride vahel: paremale - rohkem, vasakule - vähem.

Eelnevast näeme teadmiste laienenud assimilatsiooni iseloomulikku joont: kogu liitmise ja lahutamisega seotud mõistete kogum pakutakse koos, nende pidevates üleminekutes (ümberkodeerimistes) üksteisesse.

Peamised vahendid arvuliste suhete valdamiseks meie õpikus on värvilised ribad; Neid on mugav võrrelda pikkusega, tehes kindlaks, mitu lahtrit on nendest rohkem või vähem ülemisel või alumisel ribal. Ehk siis „segmentide erinevuste võrdluse“ mõistet me eriteemana sisse ei võta, vaid õpilased tutvuvad sellega kohe esimese kümne numbrite uurimise alguses. Esimese kümne uurimisele pühendatud tundides on mugav kasutada värvilisi ribasid, mis võimaldavad teil esimese etapi toimingute jaoks läbi viia peamiste ülesannete tüüpide propedeutika.

Kaaluge näidet.

Olgu kaks lahtriteks jagatud värvilist riba üksteise peale asetatud:

alumises - 3 rakku, ülemises - 2 rakku (vt joonis.).

Võrreldes lahtrite arvu ülemisel ja alumisel ribal, teeb õpetaja kaks näidet vastastikuste toimingute kohta (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2) ja nende näidete lahendusi loetakse paarikaupa kõigil võimalikel viisidel:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) lisage 1 kahele - saate 3; a) lahutage 3-st 1 - saate 2;

b) 2 suurendatakse 1-ga - saad 3; b) vähenda 3 1 võrra – saad 2;

c) 3 on suurem kui 2 korda 1; c) 2 on väiksem kui 3 korda 1;

d) 2 jah 1 on 3; d) 3 ilma 1ta on 2;

e) lisage arv 2 arvule 1 - e) lahutage arv 1 arvust 3 -

selgub 3. selgub 2.

Õpetaja. Kui 2 suurendatakse 1 võrra, kui palju see on?

Üliõpilane. Kui korrutate 2 1-ga, saate 3.

Õpetaja. Ütle nüüd, mida pead tegema numbriga 3, et saada 2?

Üliõpilane. Vähendage 3 1 võrra, et saada 2.

Pöörakem siinkohal tähelepanu vajadusele opositsioonioperatsiooni metoodiliselt pädeva elluviimise järele selles dialoogis. ,

Lapsed õpivad enesekindlalt paarismõistete tähendust (liita - lahuta, suurenda - vähenda, rohkem - vähem, jah - ilma, lisa - lahuta) saavutatakse nende kasutamisega ühes õppetunnis, tuginedes samale arvude kolmikule (näiteks , 2 + 1 = =3, 3-1=2), ühe demonstratsiooni põhjal - kahe lati pikkuste võrdlemine.

See on põhimõtteline erinevus assimilatsiooniühikute suurendamise metoodilise süsteemi ja nende põhimõistete eraldi uurimise süsteemi vahel, milles matemaatika vastandlikud mõisted tuuakse reeglina õpilaste kõnepraktikasse eraldi.

Õppimiskogemus näitab vastastikku vastandlike mõistepaaride samaaegse kasutuselevõtu eeliseid juba esimestest aritmeetikatundidest.

Näiteks kolme verbi samaaegne kasutamine: "lisa" (lisage 1 kuni 2), "lisage" (lisada numbrile 1 number 2), "suurendada" (2 suureneb 1 võrra), mis on sümboolselt kujutatud. samal viisil (2 + 1 = 3), aitab lastel õppida nende sõnade sarnasust ja tähenduse lähedust (sarnaseid arutlusi saab läbi viia ka sõnade "lahutamine", "lahutamine", "vähendamine" puhul).

Samamoodi omandatakse erinevuste võrdlemise olemus arvupaaride võrdlemise korduva kasutamise käigus koolituse algusest peale ning tunni dialoogi igas osas lahendatakse kõik võimalikud sõnalised tõlgendamisvormid. Kasutatakse näidet: „Kumb on suurem: 2 või 3? Kui palju rohkem on 3 kui 2? Kui palju tuleb 2-le lisada, et saada 3? jne. Nende mõistete tähenduse omandamiseks on suur tähtsus grammatiliste vormide muutumisel, küsitavate vormide sagedasel kasutamisel.

Aastatepikkune katsetamine on näidanud esimese kümne numbrite monograafilise uuringu eeliseid. Samal ajal tehakse iga järjestikuse numbri kohta mitmepoolne analüüs, kus loetletakse kõik selle moodustamise võimalused; selle numbri sees sooritatakse kõik võimalikud toimingud, korratakse “kogu saadaolevat matemaatikat”, kasutatakse arvudevahelise sõltuvuse kõiki lubatud grammatilisi väljendusvorme. Loomulikult korratakse selle õppesüsteemiga seoses järgnevate arvude katmisega varem uuritud näiteid, st arvuridade laiendamine toimub varem vaadeldud arvude ja variatsioonide kombinatsioonide pideva kordamisega. lihtsad probleemid.

2.3 Liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamise ühisõpe

Elementaarmatemaatika metoodikas käsitletakse nende kahe tehte harjutusi tavaliselt eraldi. Vahepeal tundub, et eelistatavam on kahe ühikuga operatsiooni "liitmine – terminiteks laiendamine" samaaegne uurimine.

Laske õpilastel lahendada liitmisülesanne: "Lisa kolmele pulgale 1 pulk – saad 4 pulka." Pärast seda ülesannet tuleks kohe esitada küsimus: "Millistest numbritest koosneb number 4?" 4 pulka koosneb 3 pulgast (laps loeb 3 pulka) ja 1 pulgast (eraldab veel 1 pulga).

Algharjutuseks võib olla ka arvu dekomponeerimine. Õpetaja küsib: "Mis numbritest koosneb number 5?" (Arv 5 koosneb 3-st ja 2-st.) Ja kohe küsitakse samade numbrite kohta: "Kui palju see on, kui 3-le lisatakse 2?" (5 saamiseks lisage 2 kuni 3.)

Samal eesmärgil on kasulik harjutada näidete lugemist kahes suunas: 5+2=7. Lisage 2 kuni 5, saate 7 (loe vasakult paremale). 7 koosneb terminitest 2 ja 5 (loe paremalt vasakule).

Verbaalset vastuseisu on kasulik saada klassikontodel selliste harjutustega, mis võimaldavad näha vastavate toimingute konkreetset sisu. Kontodel tehtavad arvutused on asendamatud vahendina numbritega seotud toimingute visualiseerimiseks ja 10 piires olevate arvude väärtus on siin seotud ühel juhtmel asuva luude komplekti pikkusega (seda pikkust tajub õpilane visuaalselt). Ei saa nõustuda sellise "uuendusega", kui olemasolevad õpikud ja programmid loobusid täielikult venekeelsete kontode kasutamisest tundides.

Niisiis luges õpilane liitmise näite (5 + 2 = 7) lahendamisel kontodel esmalt kokku 5 luud, seejärel lisas neile 2 ja seejärel teatas summa: "Lisage 2 kuni 5 - saate 7" (nimi saadud arvust on 7, samas kui õpilane loob uue hulga ümberarvutamisega: "Üks - kaks - kolm - neli - viis - kuus - seitse").

Üliõpilane. Lisage 2 kuni 5, et saada 7.

Õpetaja. Näidake nüüd, millistest terminitest number 7 koosneb.

Õpilane (kõigepealt eraldab kaks luud paremale, seejärel räägib). Arv 7 koosneb 2-st ja 5-st.

Nende harjutuste sooritamisel on soovitatav algusest peale kasutada mõisteid “esimene termin” (5), “teine ​​termin” (2), “summa”.

Pakutakse järgmist tüüpi ülesandeid: a) kahe liikme summa on 7; leida termineid; b) millistest terminitest koosneb arv 7?; c) lagundada summa 7 2 liikmeks (3 liikmeks). Jne.

Sellise olulise algebralise kontseptsiooni nagu liitmise kommutatiivne seadus assimilatsioon nõuab mitmesuguseid harjutusi, mis põhinevad algul praktilistel manipulatsioonidel objektidega.

Õpetaja. Võtke vasakusse kätte 3 pulka ja paremasse kätte 2. Mitu pulka kokku oli?

Üliõpilane. Kokku oli 5 pulka.

Õpetaja. Kuidas ma saan selle kohta rohkem öelda?

Üliõpilane. Lisage 3 pulgale 2 pulka - siis tuleb 5 pulka.

Õpetaja. Tehke see näide lõigatud numbritega. (Õpilane teeb näite: 3+2=5.)

Õpetaja. Nüüd vahetage pulgad: vasakus käes lebavad pulgad nihkuvad paremale ja parema käe pulgad nihkuvad vasakule. Mitu pulka on nüüd kahes käes koos?

Üliõpilane. Kokku oli kahes käes 5 pulka ja nüüd tuli jälle 5 pulka.

Õpetaja. Miks see juhtus?

Üliõpilane. Sest me ei lükanud kuhugi edasi ja ei lisanud pulki. Nii palju kui oli, nii palju jääb.

Õpetaja. Koostage jagatud arvudest lahendatud näited.

Õpilane (lükkab: 3+2=5, 2+3=5). Siin oli number 3 ja nüüd number 2. Ja siin oli number 2 ja nüüd number 3.

Õpetaja. Vahetasime numbrid 2 ja 3, kuid tulemus on sama:

5. (Näide moodustatakse jagatud arvudest: 3 + 2 = 2 + 3.)

Kommutatiivset seadust assimileeritakse ka arvude terminiteks lagundamise harjutustes.

Millal võtta kasutusele liitmise kommutatiivne seadus?

Liitumise õpetamise põhieesmärk - juba esimese kümne sees - on pidevalt rõhutada nihkeseaduse rolli õppustel.

Laske lastel esmalt kokku lugeda 6 pulka; siis lisame neile kolm pulka ja loendades (“seitse - kaheksa - üheksa”) paneme paika summa: 6 jah 3 - tuleb 9. Kohe on vaja pakkuda uus näide: 3 + 6; uue summa saab esmalt uuesti määrata ümberarvutamise teel (st kõige primitiivsemal viisil), kuid järk-järgult ja sihipäraselt tuleks moodustada lahendusmeetod kõrgemal koodil, st loogiliselt, ilma ümberarvutamiseta.

Kui 6 jah 3 saab 9 (vastus määratakse ümberarvutamisega), siis 3 jah 6 (ilma ümberarvutamiseta!) on samuti 9!

Lühidalt öeldes tuleb liitmise kommutatiivset omadust tutvustada juba erinevate terminite lisamise harjutuste alguses, et kujuneks harjumuseks koostada (hääldada) nelja näite lahendus:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Nelja näite koostamine on vahend lastele kättesaadavate teadmiste suurendamiseks.

Näeme, et liitmisoperatsiooni niivõrd oluline omadus nagu selle kaasaskantavus ei tohiks episoodiliselt mööduda, vaid peaks saama peamiseks loogiliseks vahendiks õigete numbriliste seoste tugevdamisel. Seoses kõigi uute tabelitulemuste mällu kuhjumisega tuleb pidevalt arvestada liitmise peamist omadust - terminite ülekantavust.

Näeme: keerukamate arvutus- või loogikatehete omavaheline seotus põhineb elementaartehte sarnasel paarilisel suhtel (lähedusel), mille kaudu sooritatakse paar "keerulisi" tehteid. Teisisõnu, keeruliste mõistete eksplitsiitne vastandamine põhineb lihtsamate mõistete implitsiitsel (alateadvusel) vastandusel.

Korrutamise ja jagamise esialgne uuring on soovitatav läbi viia järgmises kolmest ülesandetsüklist koosnevas järjestuses (igas tsüklis kolm ülesannet):

I tsükkel: a, b) korrutamine konstantse korrutisega ja sisuga jagamine (ühis); c) jagamine võrdseteks osadeks.

II tsükkel: a, b) arvu vähenemine ja suurenemine mitu korda (koos); c) mitmekordne võrdlemine.

III tsükkel: a, b) arvu ühe osa ja arvu leidmine selle ühe osa väärtuse järgi (koos); c) ülesande lahendus: "Mis osa on üks number teisest?"

Nende probleemide uurimise metoodiline süsteem on sarnane ülalkirjeldatuga esimese etapi lihtsate ülesannete puhul (liitmine ja lahutamine).

Sisu järgi korrutamise ja jagamise samaaegne õpe. Kahes-kolmes korrutamisele pühendatud tunnis (mitte rohkem!) selgitatakse välja korrutamise mõiste kui võrdsete terminite volditud liitmise tähendus (jagamise tegevust pole neis tundides veel käsitletud). Sellest ajast piisab, et uurida arvu 2 korrutustabelit ühekohaliste numbritega.

Tavaliselt näidatakse õpilastele rekordit liitmise asendamiseks korrutisega: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Siin läheb liitmise ja korrutamise seos "liitmise-korrutamise" suunas. Kohe on kohane pakkuda õpilastele harjutust, mis on mõeldud "korrutamise-liitmise" tüüpi tagasiside ilmumiseks (võrdsed terminid): seda kirjet arvestades peaks õpilane mõistma, et numbrit 2 tuleb korrata terminitega nii palju kui palju. korda, nagu näitab näite kordaja (2 * 4 \u003d kaheksa).

Mõlemat tüüpi harjutuste kombineerimine on üks olulisi tingimusi, mis tagab mõiste "korrutamine", mis tähendab volditud liitmist, teadliku assimilatsiooni.

Kolmandas tunnis (või neljandas, olenevalt klassist) antakse igale teadaolevale korrutamise juhtumile vastav jagamise juhtum. Edaspidi on kasulik samades tundides kaaluda sisu järgi korrutamist ja jagamist ainult koos.

Jagamise mõiste tutvustamisel on vaja meelde tuletada vastavaid korrutamise juhtumeid, et neist lähtudes luua mõiste uuest tegevusest, korrutamise pöördväärtusest.

Järelikult omandab mõiste “korrutamine” rikkaliku sisu: see pole mitte ainult võrdsete liikmete liitmise tulemus (“liitmise üldistamine”), vaid ka alus, jagamise algmoment, mis omakorda tähistab "volditud lahutamine", mis asendab järjestikuse "lahutamise 2-ga":

Korrutamise tähendust ei mõisteta mitte niivõrd korrutamises endas, vaid pidevates üleminekutes korrutamise ja jagamise vahel, kuna jagamine on varjatud, "muudetud" korrutamine. See seletab, miks on edaspidi kasulik uurida korrutamist ja jagamist alati samaaegselt (nii tabeli- kui ka lisatabelina; nii suuliselt kui ka kirjalikult).

Korrutamise ja jagamise samaaegse uurimise esimesed õppetunnid tuleks pühendada loogikatehete enda pedantsele töötlemisele, mida igal võimalikul viisil toetavad ulatuslikud praktilised tegevused erinevate objektide (kuubikud, seened, pulgad jne) kogumisel ja jaotamisel, kuid üksikasjalike toimingute jada peaks jääma samaks.

Sellise töö tulemuseks on korrutamis- ja jagamistabelid, mis on kirjutatud kõrvuti:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6:2=3,

2 * 4 = 8, 8: 2 = 4,

2*5= 10, 10: 2=5 jne.

Seega on korrutustabel üles ehitatud konstantsele korrutistele ja jagamistabel konstantsele jagajale.

Samuti on kasulik pakkuda selle ülesandega paaris olevatele õpilastele struktuurselt vastupidist harjutust üleminekuks jagamiselt lahutamisele võrdsete alamlahenditega.

Kordusharjutustes on kasulik pakkuda seda tüüpi ülesandeid: 14:2 ==.

Võrdseteks osadeks jagamise uurimine. Pärast seda, kui arvu 2 korrutamist ja 2-ga jagamist on koos uuritud või korratud, tutvustatakse ühes õppetükis mõistet "jagamine võrdseteks osadeks" (esimese tsükli kolmas ülesannete tüüp).

Mõelge probleemile: „Neli õpilast tõid igaüks 2 vihikut. Mitu märkmikku nad kokku tõid?

Õpetaja selgitab: võta 2 4 korda – saad 8. (Ilmub kirje: 2 * 4 = 8 igaüks.) Kes teeb pöördülesande?

Ja üldistus õpetajate kogemustest selleteemaliste matemaatikatundide läbiviimisel. Kursusetöö koosneb sissejuhatusest, kahest peatükist, järeldusest, kirjanduse loetelust. I PEATÜKK

Ikka ei tõsta probleemi esile. Kuna kõige vähem on käsitletud ülesannete ümberkujundamise õpetamise meetodi küsimust, siis jätkame selle uurimist. II peatükk. Tehnika ülesannete teisendamise õppimiseks. 2.1. Teisendusülesanded põhikooli matemaatikatundides. Kuna ülesannete ümberkujundamise kohta on erialakirjandust väga vähe, otsustasime korraldada õpetajate seas küsitluse...

Uue materjali õppimisel on soovitatav tunni ülesehitus nii, et töö algaks õpetaja või õpilase läbiviidavate erinevate demonstratsioonidega. Visualiseerimise kasutamine matemaatikatundides geomeetrilise materjali uurimisel võimaldab lastel kindlalt ja teadlikult õppida kõiki programmi küsimusi. Matemaatika keel on sümbolite, kokkuleppeliste märkide, jooniste, geomeetriliste ...