Metoodiline arendus teemal: matemaatiline uurimistöö matemaatikatundides.

1774. aastal näitas L. Euler, et kui funktsioon y(x) annab lineaarse integraali miinimumi J = J[y(x), siis peab see vastama mõnele diferentsiaalvõrrandile, mida hiljem nimetatakse Euleri võrrandid. Selle fakti avastamine oli matemaatilise modelleerimise (matemaatikamudelite loomise) oluline saavutus. Selgus, et sama matemaatilist mudelit saab esitada kahel samaväärsel kujul: funktsionaalse või Euleri diferentsiaalvõrrandi (diferentsiaalvõrrandi süsteemi) kujul. Sellega seoses nimetatakse diferentsiaalvõrrandi asendamist funktsionaalsega variatsioonide arvutuse pöördülesanne. Seega võib funktsionaalse ekstreemumi ülesande lahendust käsitleda samamoodi kui sellele funktsionaalsele vastavale Euleri diferentsiaalvõrrandi lahendust. Järelikult saab sama füüsikalise ülesande matemaatilise formuleeringu esitada kas vastavate piirtingimustega funktsionaali kujul (selle funktsionaali ekstreemum annab lahenduse füüsikalisele ülesandele) või vastava Euleri diferentsiaalvõrrandi kujul. sellele funktsioonile samade piirtingimustega (selle võrrandi integreerimine annab probleemile lahenduse).

Variatsioonimeetodite laialdasele levikule rakendusteadustes aitas kaasa W. Ritzi publikatsiooni ilmumine 1908. aastal, mis on seotud funktsionaalide minimeerimise meetodiga, hiljem nn. Ritzi meetod. Seda meetodit peetakse klassikaliseks variatsioonimeetodiks. Selle peamine idee on soovitud funktsioon y = y(x) y funktsionaalse (A ) Koos piirtingimused y (a) = A, y (b) = IN minimaalne väärtus, otsitakse seeriana

Kus Cj (i = 0, yy) - tundmatud koefitsiendid; (r/(d) (r = 0, P) - koordinaatfunktsioonid (algebraline või trigonomeetriline polüüp).

Koordinaatfunktsioonid leitakse sellisel kujul, et need vastavad täpselt ülesande piirtingimustele.

(c) asendamine (A) pärast funktsiooni tuletiste määramist J tundmatutest C, (r = 0, r) viimase suhtes saadakse algebraline lineaarvõrrandi süsteem. Peale koefitsientide C määramist leitakse (c) ülesande lahendus suletud kujul.

Kui kasutate suurt hulka seeriatermineid (c) (P- 5? °о) põhimõtteliselt on võimalik saada nõutava täpsusega lahendus. Siiski, kuidas näidata konkreetsete ülesannete arvutusi, koefitsientide maatriksit C, (g = 0, P) on täidetud ruutmaatriks, millel on absoluutväärtuses suur koefitsientide levik. Sellised maatriksid on ainsuse lähedased ja on reeglina halvasti konditsioneeritud. Selle põhjuseks on asjaolu, et need ei vasta ühelegi tingimusele, mille alusel saab maatrikseid hästi konditsioneerida. Vaatame mõnda neist tingimustest.

• 1. Maatriksi positiivne määratlus (põhidiagonaalil asuvad terminid peavad olema positiivsed ja maksimaalsed).
• 2. Maatriksi lintvaade põhidiagonaali suhtes minimaalse lindi laiusega (väljaspool linti asuvad maatriksi koefitsiendid on võrdsed nulliga).
• 3. Maatriksi sümmeetrilisus põhidiagonaali suhtes.

Sellega seoses kaldub Ritzi meetodi kasvavate lähenduste korral maatriksi tingimusarv, mis on määratud selle maksimaalse ja minimaalse omaväärtuse suhtega, lõpmatult suurele väärtusele. Ja saadud lahenduse täpsus, mis on tingitud ümardamisvigade kiirest kuhjumisest suurte algebraliste lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel, ei pruugi paraneda, vaid halveneda.

Koos Ritzi meetodiga arenes ka sellega seotud Galerkini meetod. 1913. aastal tegi I. G. Bubnov kindlaks, et algebralised lineaarvõrrandid tundmatute C suhtes (/ = 0, P) punktist c saab saada ilma vormi (A) funktsionaalset funktsiooni kasutamata. Ülesande matemaatiline sõnastus sisaldab sel juhul sobivate piirtingimustega diferentsiaalvõrrandit. Lahendus, nagu Ritzi meetodil, valmistatakse kujul (c). Tänu koordinaatfunktsioonide φ,(x) erilisele disainile rahuldab lahendus (c) täpselt ülesande piirtingimusi. Tundmatute koefitsientide C määramiseks (g = 0, P) koostatakse diferentsiaalvõrrandi lahknevus ja lahknevus peab olema ortogonaalne kõigi koordinaatfunktsioonidega φ 7 Cr) (/ = i = 0, P). Saajate määramine Tundmatute koefitsientide C suhtes on integraalid, (G= 0, r) saame algebraliste lineaarvõrrandite süsteemi, mis ühtib täielikult Ritzi meetodi sarnaste võrrandite süsteemiga. Seega, kui lahendada samu ülesandeid samade koordinaatfunktsioonide süsteemide abil, annavad Ritzi ja Bubnov-Galerkini meetodid samad tulemused.

Vaatamata saadud tulemuste identsusele on Bubnov-Galerkini meetodi oluline eelis võrreldes Ritzi meetodiga see, et see ei nõua diferentsiaalvõrrandi variatsioonianaloogi (funktsionaalse) konstrueerimist. Pange tähele, et sellist analoogi ei saa alati konstrueerida. Selle Bubnov-Galerkini meetodiga seoses saab lahendada probleeme, mille puhul klassikalised variatsioonimeetodid ei ole rakendatavad.

Teine variatsioonirühma kuuluv meetod on Kantorovichi meetod. Tema tunnusmärk on see, et (c) tüüpi lineaarsete kombinatsioonide tundmatud koefitsiendid ei ole konstandid, vaid funktsioonid, mis sõltuvad ülesande ühest sõltumatust muutujast (näiteks ajast). Siin, nagu Bubnov-Galerkini meetodis, koostatakse diferentsiaalvõrrandi lahknevus ja lahknevus peab olema ortogonaalne kõigi koordinaatfunktsioonidega (ру(дг) (j = i = 0, P). Pärast integraalide määratlemist tundmatute funktsioonide suhtes fj(x) saame esimest järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemi. Selliste süsteemide lahendamise meetodid on hästi välja töötatud (saadaval on standardsed arvutiprogrammid).

Üheks suunaks piirväärtusülesannete lahendamisel on täpsete (Fourier, integraalteisenduste jne) ja ligikaudsete (variatsioonilised, kaalutud jäägid, kollokatsioonid jne) analüüsimeetodite ühine kasutamine. See terviklik lähenemisviis võimaldab parim viis kasutage nende kahe rakendusmatemaatika kõige olulisema vahendi positiivseid külgi, kuna ilma peeneid ja tülikaid matemaatilisi arvutusi tegemata on võimalik saada lihtsal kujul avaldisi, mis on samaväärsed lõpmatust koosneva täpse lahenduse põhiosaga. funktsionaalne seeria. Praktilisteks arvutusteks kasutatakse reeglina seda mitme termini osalist summat. Selliste meetodite kasutamisel on paraboolse koordinaadi algosas täpsemate tulemuste saamiseks vaja teha suur hulk lähendusi. Samas suurte P koordinaatfunktsioonid külgnevate indeksitega viivad algebralised võrrandid, mis on seotud peaaegu lineaarse sõltuvusega. Sel juhul on koefitsientide maatriks, olles täidetud ruutmaatriks, ainsuse lähedane ja osutub reeglina halvasti tingituks. Ja millal P- 3? °° ligikaudne lahendus ei pruugi ühtlustada isegi nõrgalt täpseks. Halvasti konditsioneeritud maatriksitega algebraliste lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine tekitab ümardusvigade kiire kuhjumise tõttu olulisi tehnilisi raskusi. Seetõttu tuleb selliseid võrrandisüsteeme lahendada vahearvutuste suure täpsusega.

Eriline koht ligikaudsete analüütiliste meetodite hulgas, mis võimaldavad saada analüütilisi lahendusi aja (paraboolse) koordinaadi algosas, on meetodid, mis kasutavad mõistet temperatuurihäirete ees. Nende meetodite kohaselt jaguneb kogu kehade soojendamise või jahutamise protsess formaalselt kaheks etapiks. Neist esimest iseloomustab temperatuurihäire esiosa järkjärguline levimine keha pinnalt selle keskmesse ja teist temperatuuri muutus kogu keha mahus kuni temperatuuri alguseni. püsiseisund. Selline termilise protsessi ajaline jaotus kaheks etapiks võimaldab mittestatsionaarse soojusjuhtivuse ülesandeid samm-sammult lahendada ja iga etapi jaoks eraldi reeglina juba esimeses lähenduses leida rahuldavad arvutusvalemid. täpsusega, üsna lihtne ja mugav insenerirakendustes. Nendel meetoditel on ka oluline puudus, milleks on vajadus soovitud temperatuurifunktsiooni koordinaatide sõltuvuse a priori valida. Tavaliselt aktsepteeritakse ruut- või kuupparaboole. Selline lahenduse ebaselgus tekitab täpsuse probleemi, kuna eeldades eelnevalt üht või teist temperatuurivälja profiili, saame iga kord erineva lõpptulemuse.

Meetoditest, mis kasutavad temperatuurihäire esiosa piiratud liikumiskiiruse ideed, on kõige laialdasemalt kasutatav integraalmeetod. soojusbilanss. Tema abiga saab osadiferentsiaalvõrrandi taandada tavaliseks diferentsiaalvõrrand etteantud algtingimustega, mille lahust võib üsna sageli saada suletud analüütilises vormis. Integraalmeetodit saab kasutada näiteks probleemide ligikaudseks lahendamiseks, kui termofüüsikalised omadused ei ole konstantsed, vaid need on määratud keerulise funktsionaalse sõltuvusega, ning probleeme, mille puhul tuleb lisaks soojusjuhtivusele arvestada ka konvektsiooniga. Integraalmeetodil on ka ülaltoodud puudus - temperatuuriprofiili a priori valik, mis tekitab lahenduse unikaalsuse probleemi ja viib selle madala täpsuseni.

T. Goodmani töös on toodud arvukalt näiteid integraalmeetodi rakendamisest soojusjuhtivusülesannete lahendamisel. Selles töös koos illustratsiooniga suurepäraseid võimalusi näidatakse ka selle piiranguid. Seega, hoolimata asjaolust, et paljusid probleeme saab edukalt lahendada integraalmeetodiga, on terve rida probleeme, mille puhul see meetod praktiliselt ei ole rakendatav. Need on näiteks sisendfunktsioonide impulssmuutuste probleemid. Põhjus on selles, et ruut- või kuupparabooli kujul olev temperatuuriprofiil ei vasta selliste probleemide tegelikule temperatuuriprofiilile. Seega, kui tegelik temperatuurijaotus uuritavas kehas toimub mittemonotoonse funktsiooni vormis, siis ei ole mingil juhul võimalik leida rahuldavat lahendust, mis oleks kooskõlas probleemi füüsikalise tähendusega.

Ilmselge viis integraalmeetodi täpsuse parandamiseks on kasutada rohkem polünoomi temperatuurifunktsioone kõrge järjekord. Sellisel juhul ei piisa selliste polünoomide koefitsientide määramiseks temperatuurihäiringu esiosa peamistest piirtingimustest ja sujuvustingimustest. Sellega seoses on vaja otsida puuduvaid piirtingimusi, mis koos etteantutega võimaldaksid määrata kõrgemat järku optimaalse temperatuuriprofiili koefitsiente, võttes arvesse kõiki temperatuuride füüsikalisi iseärasusi. uuritav probleem. Sellised täiendavad piirtingimused on võimalik saada peamistest piirtingimustest ja algsest diferentsiaalvõrrandist, diferentseerides neid piiripunktides ruumilistes koordinaatides ja ajas.

Uurides erinevaid ülesandeid soojusülekanne, eeldatakse, et termofüüsikalised omadused ei sõltu temperatuurist ja piirtingimusteks võetakse lineaarsed tingimused. Kui aga kehatemperatuur varieerub laias vahemikus, siis termofüüsikaliste omaduste sõltuvuse tõttu temperatuurist muutub soojusjuhtivuse võrrand mittelineaarseks. Selle lahendus muutub palju keerulisemaks ja teadaolevad täpsed analüüsimeetodid osutuvad ebaefektiivseks. Integraalse soojusbilansi meetod võimaldab ületada mõningaid raskusi, mis on seotud probleemi mittelineaarsusega. Näiteks taandab mittelineaarsete piirtingimustega osadiferentsiaalvõrrandi etteantud algtingimustega tavaliseks diferentsiaalvõrrandiks, mille lahenduse võib sageli saada suletud analüütilisel kujul.

On teada, et täpsed analüütilised lahendused on praegu saadud vaid lihtsustatud matemaatilises sõnastuses, kui paljud olulised omadused protsessid (mittelineaarsus, omaduste ja piirtingimuste muutlikkus jne). Kõik see toob kaasa matemaatiliste mudelite olulise kõrvalekaldumise tegelikest mudelitest. füüsikalised protsessid, mis esineb konkreetsetes elektrijaamades. Lisaks väljendatakse täpseid lahendusi keeruliste lõpmatute funktsionaalridadena, mis piirpunktide läheduses ja ajakoordinaadi väikeste väärtuste korral aeglaselt lähenevad. Sellistest lahendustest on insenertehniliste rakenduste jaoks vähe kasu ja eriti juhtudel, kui temperatuuriprobleemi lahendamine on mõne muu probleemi (termilise paindlikkuse probleemid, pöördprobleemid, juhtimisprobleemid jne) lahendamise vaheetapp. Sellega seoses pakuvad suurt huvi eespool loetletud rakendusmatemaatika meetodid, mis võimaldavad saada analüütilisel kujul, kuigi ligikaudseid, lahendusi, mille täpsus on paljudel juhtudel piisav insenerirakenduste jaoks. Need meetodid võimaldavad klassikaliste meetoditega võrreldes oluliselt laiendada probleemide ringi, millele on võimalik saada analüütilisi lahendusi.

SISSEJUHATUS DISTSIPLIINOPERATSIOONI UURINGUD JA MIDA SEE TEEB

Operatsiooniuuringute kui iseseisva rakendusmatemaatika haru kujunemine ulatub 40-50ndatesse aastatesse. Järgnenud poolteist kümnendit iseloomustas saadud fundamentaalsete teoreetiliste tulemuste laialdane rakendamine erinevate praktiliste probleemide lahendamisel ning sellega kaasnev teooria potentsiaalsete võimaluste ümbermõtestamine. Selle tulemusena omandasid operatsiooniuuringud klassikalise teadusdistsipliini tunnused, ilma milleta pole mõeldav majandusalane põhiharidus.

Operatsiooniuuringute objektiks olevate ülesannete ja probleemide juurde tulles ei saa jätta meenutamata kodumaiste esindajate panust nende lahendamisesse. teaduslik kool, kelle hulgas tuleks eelkõige nimetada L. V. Kantorovitšit, kes sai 1975. aastal laureaadiks. Nobeli preemia töö eest ressursside optimaalsel kasutamisel majanduses.

Operatsiooniuuringute kui teaduse arengu algust seostatakse traditsiooniliselt 20. sajandi neljakümnendate aastatega. Esimeste sellesuunaliste uurimuste hulka võib nimetada L. V. Kantorovitši teost “Tootmise korraldamise ja planeerimise matemaatilised meetodid”, mis ilmus 1939. Väliskirjanduses peetakse tavaliselt lähtekohaks J. Dantzigi tööd, mis ilmus aastal 1939. 1947, pühendatud lineaarsete ekstreemülesannete lahendamisele.

Tuleb märkida, et operatsioonide uurimise objektil puudub jäik, väljakujunenud ja üldtunnustatud määratlus. Tihti vastates see küsimus see ütleb, et" operatsioonide uurimine on teaduslike meetodite kogum organisatsioonisüsteemide tõhusa juhtimise probleemide lahendamiseks.

Teine määratlus: Operatsiooniuuringud - see on tehtava otsuse teaduslik ettevalmistamine - see on meetodite kogum, mis on välja pakutud kõige tõhusamate või ökonoomsemate lahenduste ettevalmistamiseks ja leidmiseks.

Eeltoodud definitsioonis “organisatsioonilise” nimetuse all esinevate süsteemide olemus võib olla väga erinev ning nende üldmatemaatilisi mudeleid kasutatakse lisaks tootmis- ja majandusprobleemide lahendamisele ka bioloogias, sotsioloogilistes uuringutes ja muudes praktilistes valdkondades. Muide, distsipliini nimetus on seotud matemaatiliste meetodite kasutamisega sõjaliste operatsioonide juhtimiseks.

Vaatamata organisatsiooni juhtimisprobleemide mitmekesisusele on nende lahendamisel võimalik tuvastada teatud üldine etappide jada, mille kaudu mis tahes operatiivuuringud läbivad. Tavaliselt on see:

1. Probleemi avaldus.

2. Vaadeldava objekti (protsessi) tähendusliku (verbaalse) mudeli konstrueerimine. Selles etapis vormistatakse objekti haldamise eesmärk, selgitatakse välja võimalikud kontrollitoimingud, mis mõjutavad sõnastatud eesmärgi saavutamist, samuti kirjeldatakse kontrollitoimingute piirangute süsteemi.

3. Matemaatilise mudeli konstrueerimine, s.t konstrueeritud verbaalse mudeli tõlkimine vormi, milles saab matemaatilist aparaati kasutada selle uurimiseks.

4. Konstrueeritud matemaatilise mudeli alusel sõnastatud ülesannete lahendamine.

5. Saadud tulemuste adekvaatsuse kontrollimine uuritava süsteemi olemusele, sh nn mudeliväliste tegurite mõju uurimine ja algse mudeli võimalik korrigeerimine.

6. Saadud lahenduse rakendamine praktikas.

Selle kursuse keskne koht on ülaltoodud diagrammi neljanda punktiga seotud küsimustel. Seda ei tehta mitte sellepärast, et see oleks kõige olulisem, keerulisem või huvitavam, vaid seetõttu, et ülejäänud punktid sõltuvad oluliselt uuritava süsteemi eripärast, mistõttu ei saa koostada universaalseid ja sisukaid soovitusi tegevuste kohta, mida tuleks läbi viia. nende raames.

Kõige erinevamates inimtegevuse valdkondades esinevad sarnased ülesanded: tootmise korraldamine, transpordi opereerimine, lahingutegevus, isikkoosseisu paigutamine, telefoniside jne. Nendes valdkondades tekkivad probleemid on sõnastuses sarnased, neil on mitmeid ühiseid jooni ja neid lahendatakse sarnaste meetoditega.

Näide :

Korraldatakse mingisugune sihipärane üritus (tegevuste süsteem), mida saab ühel või teisel viisil korraldada. Konkreetne lahendus tuleb valida paljude võimalike võimaluste hulgast. Igal variandil on oma eelised ja puudused; pole kohe selge, kumb on parem. Olukorra selgitamiseks ja erinevate võimaluste võrdlemiseks üksteisega mitmete tunnuste põhjal korraldatakse rida matemaatilisi arvutusi. Arvutustulemused näitavad, millist võimalust valida.

Matemaatika modelleerimine operatsioonides on uurimine ühelt poolt väga oluline ja keeruline protsess, teisalt aga protsess, mis praktiliselt ei allu teaduslikule formaliseerimisele. Pange tähele, et korduvad katsed tuvastada matemaatiliste mudelite loomise üldpõhimõtteid on viinud kas väga üldiste soovituste deklareerimiseni, mida on raske konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada, või vastupidi, retseptide ilmnemiseni, mis on tegelikult rakendatavad ainult kitsas hulk probleeme. Seetõttu tundub kasulikum tutvuda matemaatilise modelleerimise tehnikaga konkreetsete näidete abil.

1) Ettevõtte varustamise plaan.

On mitmeid ettevõtteid, mis kasutavad erinevat tüüpi toorainet; on number tooraine alused. Baasid on ettevõtetega ühendatud erinevate sideteede kaudu ( raudteed, autotransport, veetransport, õhutransport). Igal transpordil on oma tariifid. Ettevõtete toorainega varustamiseks on vaja välja töötada selline plaan, et toorainevajadused oleksid rahuldatud minimaalsete transpordikuludega.

2) Maantee lõigu väljaehitamine.

Ehitatakse raudteeliini osa. Meie käsutuses on teatud hulk ressursse: inimesed, tehnika jne. On vaja määrata tööde jada, jaotada inimesed ja seadmed mööda rajalõike nii, et ehitus saaks lõpule viia võimalikult lühikese aja jooksul.

Toodetakse teatud tüüpi toodet. Toodete kõrge kvaliteedi tagamiseks on vaja korraldada proovide võtmise kontrollisüsteem: määrata kontrollpartii suurus, testide komplekt, tagasilükkamise reeglid jne. On vaja tagada toote teatud tase minimaalsete kontrollikuludega.

4) Sõjalised tegevused.

Sel juhul on eesmärk hävitada vaenlase objekt.

Sarnaseid probleeme esineb praktikas sageli. Neil on ühised omadused. Igal ülesandel on määratletud eesmärk – need eesmärgid on sarnased; on täpsustatud teatud tingimused - nende tingimuste raames tuleb teha otsus, et see üritus oleks kõige tulusam. Nendega kooskõlas üldised omadused Kasutatakse ka üldisi meetodeid.

1. ÜLDMÕISTED

1.1. Operatsiooniuuringute eesmärk ja põhimõisted

Operatsioon - See on mis tahes toimingute (sündmuste) süsteem, mida ühendab üks plaan ja mille eesmärk on saavutada mõni eesmärk. See on kontrollitud sündmus, see tähendab, et meist sõltub, kuidas valida mõningaid selle organisatsiooni iseloomustavaid parameetreid.

Iga konkreetset meist sõltuvat parameetrite valikut nimetatakse otsus.

Operatsiooniuuringute eesmärk on optimaalsete lahenduste esialgne kvantitatiivne põhjendus.

Nimetatakse neid parameetreid, mille kombinatsioon moodustab lahenduse lahenduse elemendid. Lahenduse elementideks võivad olla erinevad arvud, vektorid, funktsioonid, füüsikalised karakteristikud jne.

Näide : homogeense kauba vedu.

Seal on lähtepunktid: A 1 , A 2 , A 3 ,…, A m .

Saadaolevad sihtkohad: IN 1 , IN 2 , IN 3 ,…, IN n .

Lahenduse elemendid on siin numbrid x ij , mis näitab, kui palju lasti saadetakse i-ndast lähtepunktist j sihtkoht.

Nende numbrite kombinatsioon: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm moodustab lahenduse.

Erinevate võimaluste võrdlemiseks peab teil olema mingi kvantitatiivne kriteerium - tõhususe näitaja ( W). Seda indikaatorit nimetatakse sihtfunktsioon.

See indikaator on valitud nii, et see kajastaks operatsiooni sihtsuuna. Lahenduse valikul püüdleme selle poole, et see näitaja kalduks maksimumile või miinimumile. Kui W on sissetulek, siis W max; ja kui W on voolukiirus, siis W min.

Kui valik sõltub juhuslikest teguritest (ilm, seadmete rike, nõudluse ja pakkumise kõikumine), siis valitakse efektiivsuse indikaatoriks keskmine väärtus – matemaatiline ootus.

Mõnikord valitakse efektiivsuse näitajaks eesmärgi saavutamise tõenäosus. Siin kaasnevad operatsiooni eesmärgiga juhuslikud tegurid ja see töötab JAH-EI skeemi järgi.

Tulemusnäitaja valimise põhimõtete illustreerimiseks pöördume tagasi eelnevalt käsitletud näidete juurde:

1) Ettevõtte varustamise plaan.

Tulemusnäitaja on väravas näha. R– number – transpordi maksumus, . Sel juhul tuleb järgida kõiki piiranguid.

2) Maantee lõigu väljaehitamine.

Probleemis suur roll rolli mängivad juhuslikud tegurid. Efektiivsuse näitajaks valitakse ehituse keskmine eeldatav valmimisaeg.

3) Toodete näidiskontroll.

Tõhususe loomulik näitaja, mida probleemi sõnastus soovitab, on keskmine eeldatav kontrollikulu ajaühiku kohta, eeldusel, et süsteem kontrollib teatud kvaliteeditaseme pakkumist.

Kaasas füüsiline või matemaatilised modelleerimine. Füüsiline modelleerimine... paigutuste ja nende töömahukad Uuring. Matemaatiline modelleerimine toimub kasutades... modelleerimiseks on vaja teha järgmist operatsioonid: 1. sisenege menüüsse...

Võrdleme matemaatika rakendamise meetodeid praktiline uurimine teiste meetoditega loodusteadused. Teadused, nagu füüsika, keemia ja bioloogia, uurivad otseselt reaalset objekti ennast (võimalik, et vähendatud skaalal ja laboritingimustes). Teaduslikke tulemusi saab pärast vajalikku kontrollimist ka vahetult praktikas rakendada. Matemaatika ei uuri mitte objekte endid, vaid nende mudeleid. Objekti kirjeldus ja ülesande sõnastus tõlgitakse tavakeelest “matemaatika keelde” (formaliseeritakse), mille tulemuseks on matemaatiline mudel. Seda mudelit uuritakse edasi kui matemaatilist probleemi. Saadud teaduslikke tulemusi ei rakendata kohe praktikas, kuna need on sõnastatud matemaatilises keeles. Seetõttu viiakse läbi pöördprotsess - saadud matemaatiliste tulemuste mõtestatud tõlgendus (algülesande keeles). Alles pärast seda otsustatakse nende praktikas rakendamise küsimus.

Rakendusmatemaatika metoodika lahutamatuks osaks on sellele eelneva reaalse probleemi terviklik analüüs. matemaatiline modelleerimine. Üldiselt hõlmab probleemi süsteemne analüüs järgmiste sammude läbiviimist:

· probleemi humanitaarne (eelmatemaatiline) analüüs;

· probleemi matemaatiline uurimine;

· saadud tulemuste rakendamine praktikas.

Selline süstemaatiline analüüs tuleks läbi viia iga konkreetse probleemi kohta uurimisrühm, sealhulgas majandusteadlased (probleemide tekitajate või klientidena), matemaatikud, juristid, sotsioloogid, psühholoogid, ökoloogid jne. Pealegi peaksid matemaatikud peamiste uurijatena osalema mitte ainult probleemi "lahenduses", vaid ka selle sõnastamises. , samuti tulemuste praktikas rakendamisel.

Majandusprobleemi matemaatilise uurimise läbiviimiseks on vaja järgmisi põhietappe:

1. ainevaldkonna õpe ja õppe eesmärgi määramine;

2. probleemi sõnastamine;

3. andmete kogumine (statistilised, ekspert- ja muud);

4. matemaatilise mudeli koostamine;

5. arvutusmeetodi valik (või arendamine) ja ülesande lahendamise algoritmi koostamine;

6. algoritmi programmeerimine ja programmi silumine;

7. mudeli kvaliteedi kontrollimine testnäite abil;

8. tulemuste rakendamine praktikas.

Etapid 1 -3 seotud uuringu eelmatemaatika osaga. Teemavaldkond peaksid majandusteadlased ise põhjalikult uurima, et nemad kui kliendid saaksid probleemi selgelt sõnastada ja teadlastele eesmärgid määratleda. Teadlastele tuleb varustada kõikehõlmavalt kõik vajalikud dokumentaalsed ja statistilised andmed. Matemaatikud korraldavad, salvestavad, analüüsivad ja töötlevad neile klientide poolt mugaval (elektroonilisel) kujul edastatud andmeid.

Etapid 4 -7 seotud uurimistöö matemaatilise osaga. Selle etapi tulemuseks on esialgse probleemi sõnastus range vormis matemaatiline probleem. Olemasolevate tuntud mudelite hulgast saab harva “valida” matemaatilist mudelit (joonis 1.1). Kutsutakse välja mudeli parameetrite valimine nii, et see vastaks uuritavale objektile mudeli tuvastamine. Saadud mudeli (ülesande) olemusest ja uuringu eesmärgist lähtuvalt valitakse kas teadaolev meetod või kohandatakse (modifitseeritakse) tuntud meetodit või töötatakse välja uus. Pärast seda koostatakse algoritm (ülesande lahendamise protseduur) ja arvutiprogramm. Selle programmi abil saadud tulemusi analüüsitakse: lahendatakse testülesanded, viiakse algoritmi ja programmi sisse vajalikud muudatused ja parandused.

Kui “puhta” matemaatika puhul on traditsiooniline kohe õppetöö alguses valida matemaatiline mudel ja üks kord sõnastada eeldused, siis rakendustöös on sageli kasulik mudeli juurde tagasi pöörduda ja selles parandusi teha pärast esimest vooru. katsearvutused on juba tehtud. Pealegi osutub mudelite võrdlemine sageli viljakaks, kui sama nähtust kirjeldatakse mitte ühe, vaid mitme mudeliga. Kui järeldused osutuvad (ligikaudu) samadeks, millal erinevad mudelid, erinevad uurimismeetodid – see tõendab arvutuste õigsust, mudeli sobivust objektile endale ja antud soovituste objektiivsust.

Viimane etapp 8 teostavad ühiselt kliendid ja mudeliarendajad.

Matemaatiliste (nagu ka kõigi teaduslike) uuringute tulemused on vaid soovitused praktikas kasutamiseks. Lõplik otsus selles küsimuses – kas mudelit rakendada või mitte – sõltub kliendist, st tulemuse eest vastutavast isikust ja tagajärgedest, milleni soovitatud tulemuste rakendamine kaasa toob.

Konkreetse majandusülesande (probleemi) matemaatilise mudeli koostamiseks on soovitatav teha järgmine tööjada:

1. teadaolevate ja teadmata suuruste, samuti olemasolevate tingimuste ja eelduste määramine (mida antakse ja mida on vaja leida?);

2. tuvastamine kõige olulisemad tegurid Probleemid;

3. juhitavate ja mittekontrollitavate parameetrite tuvastamine;

4. matemaatiline kirjeldamine võrrandite, võrratuste, funktsioonide ja muude mudelielementide (parameetrite, muutujate) vaheliste seoste kaudu, lähtudes vaadeldava ülesande sisust.

Arvesse võetakse ülesande teadaolevaid parameetreid selle matemaatilise mudeli suhtes välised(antud a priori, st enne mudeli ehitamist). Majanduskirjanduses nimetatakse neid eksogeensed muutujad. Esialgu tundmatute muutujate väärtused arvutatakse mudeli uurimise tulemusena, nii et mudeli suhtes arvestatakse neid sisemine. Majanduskirjanduses nimetatakse neid endogeensed muutujad.

IN § 2 kõige olulisemate all mõistetakse tegureid, mis mängivad olulist rolli ülesandes endas ja mis ühel või teisel viisil mõjutavad lõpptulemust. IN § 3 kontrollitavad on need ülesande parameetrid, mida saab anda suvaliselt arvväärtusi lähtudes probleemi tingimustest; kontrollimatud on need parameetrid, mille väärtus on fikseeritud ja mida ei saa muuta.

Eesmärgi seisukohalt saame eristada kirjeldavad mudelid Ja otsuste tegemise mudelid. Kirjeldavad mudelid kajastavad sisu ja põhiomadusi majandusobjektid nagu. Nende abiga arvutatakse majanduslike tegurite ja näitajate arvväärtused.

Otsustusmudelid aitavad leida parimad valikud planeeritud näitajad või juhtimisotsused. Nende hulgas on kõige vähem keerukad optimeerimismudelid, mille kaudu kirjeldatakse (modelleeritakse) selliseid ülesandeid nagu planeerimine, ja kõige keerulisemad on mängumudelid, mis kirjeldavad konfliktse iseloomuga probleeme, võttes arvesse erinevate huvide ristumiskohta. Need mudelid erinevad kirjeldavatest mudelitest selle poolest, et neil on võimalus valida juhtimisparameetrite väärtusi (mis kirjeldavatel mudelitel puudub).

Näited matemaatiliste mudelite koostamise kohta

Näide 1.1. Las teatud majanduspiirkond toodab mitut tüüpi tooteid eranditult ja ainult selle piirkonna elanikkonnale. Eeldatakse, et tehnoloogiline protsess on läbi töötatud ja uuritud elanikkonna nõudlust nende kaupade järele. Vajalik on määrata aastane tootetoodangu maht, võttes arvesse asjaolu, et see maht peab tagama nii lõpp- kui ka tööstustarbimise.

Loome selle ülesande matemaatilise mudeli. Vastavalt tingimusele antakse: toodete liigid, nõudlus nende järele ja tehnoloogiline protsess; tuleb leida iga tooteliigi toodangumaht Märgime teadaolevad kogused: - elanikkonna nõudlus th toote järele; - i-nda toote kogus, mis on vajalik selle tehnoloogia abil i-nda toote ühiku tootmiseks . Tähistame tundmatuid suurusi: - th toote toodangu maht . Totaalsus nimetatakse nõudlusvektoriks, numbreid nimetatakse tehnoloogilisteks koefitsientideks ja kogusummaks - vabanemise vektor. Vastavalt ülesande tingimustele jaotatakse vektor kaheks osaks: lõpptarbimiseks (vektor) ja taastootmiseks (vektor). Arvutame selle osa vektorist, mis läheb paljunemisele. Märgise kohaselt kasutatakse -nda toote koguse tootmiseks -nda toote kogust. Siis summa näitab kogu väljundi jaoks vajalikku -kauba kogust . Seetõttu peab võrdsus olema täidetud:

Üldistades selle mõttekäigu igat tüüpi toodetele, jõuame soovitud mudelini:

Lahendades saadud lineaarsete võrrandite süsteemi, leiame vajaliku vabanemisvektori.

Selle mudeli kompaktsemal (vektor) kujul kirjutamiseks tutvustame järgmist tähistust:

Ruutmaatriks A (suurust) nimetatakse tehnoloogiliseks maatriksiks. Ilmselgelt saab mudeli kirjutada järgmiselt: või

Saime klassikalise “Input-Output” mudeli, mille autoriks on kuulus Ameerika majandusteadlane V. Leontiev.

Näide 1.2. Naftarafineerimistehases on kaks õlisorti: klass - 10 ühikut, klass - 15 ühikut. Õli rafineerimisel saadakse kaks materjali: bensiin () ja kütteõli (). Töötlemistehnoloogia protsessis on kolm võimalust:

I: 1 ühik A+ 2 ühikut IN annab 3 ühikut. B+ 2 ühikut M;

II:2 ühikut A+ 1 ühik IN annab 1 ühiku. B+ 5 ühikut M;

III:2 ühikut A+ 2 ühikut IN annab 1 ühiku. B+ 2 ühikut M.

Bensiini ühiku hind on 10 dollarit, kütteõlil 1 dollar. On vaja kindlaks määrata kõige soodsam kombinatsioon tehnoloogilised protsessid olemasoleva õlikoguse töötlemine.

Enne modelleerimist selgitame järgmisi punkte. Probleemi tingimustest järeldub, et tehase tehnoloogilise protsessi "kasumlikkust" tuleks mõista valmistoodete (bensiin ja kütteõli) müügist maksimaalse tulu saamise tähenduses. Sellega seoses on selge, et tehase „valiku(tegemise)otsus” seisneb selle kindlaksmääramises, millist tehnoloogiat ja mitu korda rakendada. On ilmne, et selline võimalikud variandid piisav.

Tähistame tundmatuid suurusi: - tehnoloogilise protsessi kasutusmahtu. Muud mudeli parameetrid (naftavarud, bensiini ja kütteõli hind) teatud.

Seejärel taandub tehase üks konkreetne otsus ühe vektori valikule, mille puhul tehase tulu võrdub Siin on 32 dollarit esimese tehnoloogilise protsessi ühest rakendusest saadud tulu (10 dollarit 3 ühikut. B+ 1 dollar 2 ühikut M= 32 dollarit). Teise ja kolmanda tehnoloogilise protsessi koefitsiendid 15 ja 12 on sarnase tähendusega. Naftavarude arvestamine toob kaasa järgmised tingimused:

vahelduseks A: ,

vahelduseks IN: ,

kus esimeses ebavõrdsuse koefitsiendid 1, 2, 2 on õliklassi kulunormid A tehnoloogiliste protsesside ühekordseks kasutamiseks I, II, III vastavalt. Teise ebavõrdsuse koefitsiendid on õliklassi puhul sarnase tähendusega IN.

Matemaatiline mudelüldiselt näeb see välja selline:

Leia selline vektor

maksimeerida

järgmistel tingimustel:

,

,

.

Selle kirje lühendatud vorm on järgmine:

piirangute all

, (1.4.2)

,

Saime nn lineaarse programmeerimise probleemi. Mudel (1.4.2.) on näide deterministlikku tüüpi (hästi määratletud elementidega) optimeerimismudelist.

Näide 1.3. Investor peab kindlaks määrama parima aktsiate, võlakirjade ja muu kombinatsiooni väärtuslikud paberid osta neid teatud summa eest, et saada teatud kasumit minimaalse riskiga. Iga seda tüüpi väärtpaberisse investeeritud dollari kasumit iseloomustavad kaks näitajat: oodatav kasum ja tegelik kasum. Investori jaoks on soovitav, et oodatav kasum investeeringu dollari kohta ei oleks väiksem kui kogu väärtpaberikomplekti etteantud väärtus. Pange tähele, et selle probleemi korrektseks modelleerimiseks peavad matemaatikul olema teatud põhiteadmised väärtpaberite portfelli teooria vallas. Tähistame ülesande teadaolevaid parameetreid: - väärtpaberiliikide arv; - tegelik kasum (juhuslik arv) -ndat tüüpi väärtpaberilt - oodatav kasum -ndat tüüpi väärtpaberilt. Tähistagem teadmata koguseid: - liiki väärtpaberite soetamiseks eraldatud vahendid. Märkimise tõttu on kogu investeeritud summa määratletud kui . Mudeli lihtsustamiseks võtame kasutusele uued kogused

Seega on see osa kõigist seda tüüpi väärtpaberite soetamiseks eraldatud vahenditest. On ilmne, et. Probleemi tingimustest on selge, et investori eesmärk on saavutada teatud kasumitase minimaalse riskiga. Sisuliselt on risk tegeliku kasumi kõrvalekaldumise mõõt eeldatust. Seetõttu saab seda identifitseerida kovariatsiooniga

kasumit liiki ja tüüpi väärtpaberitelt. Siin M- määramine matemaatiline ootus. Algülesande matemaatilisel mudelil on vorm:

(1.4.3)

Sain kuulus modell Markowitz väärtpaberiportfelli struktuuri optimeerimiseks. Mudel (1.4.3.) on näide stohhastilist tüüpi optimeerimismudelist (juhuslikkuse elementidega).

Näide 1.4. Alusel kaubandusorganisatsioon Minimaalse sortimendi ühe toote tüübid on olemas. Poodi tuleb tuua ainult ühte tüüpi antud toodet. Peate valima toote tüübi, mida on sobiv poodi tuua. Kui seda tüüpi toode on nõutud, saab pood selle müügist kasumit, kui aga nõudlust pole, siis kahjumit.