Ülesannete lahendamine algebraliselt. Matemaatikatund “Ülesannete lahendamine aritmeetiliste meetoditega”

Analüüsides neid ülesandeid, jälgides, mis on probleemidel matemaatika seisukohalt ühist, millised on erinevused, leida erakordne viis ülesannete lahendamiseks, luua probleemide lahendamise tehnikate hoiupõrsas, õppida lahendama ühte ülesannet erinevatel viisidel.Sama teema alla rühmitatud ülesannete simulaator “Ülesannete lahendamise aritmeetilised meetodid”, ülesanded rühmas töötamiseks ja individuaalne töö.

"ülesanded simulaatori käsiraamatu jaoks"

Koolitaja: “Aritmeetilised meetodid ülesannete lahendamiseks”

"Numbrite võrdlemine summa ja erinevuse järgi."

Kahes korvis on 80 puravikku. Esimeses korvis on 10 puravikut vähem kui teises. Mitu puravikku on igas korvis?

IN õmblusstuudio Teksat ja drapet saadi 480 m. Denimkangast tarniti 140 m rohkem kui drapeeringuid. Mitu meetrit teksariidest stuudio sai?

Teletorni mudel koosneb kahest plokist. Alumine plokk on ülemisest 130 cm lühem. Mis on ülemise ja alumise ploki kõrgused, kui torni kõrgus on 4 m 70 cm?

Kahes karbis on 16 kg küpsiseid. Leia iga karbi küpsiste mass, kui ühes neist on 4 kg rohkem küpsiseid.

Ülesanne L. N. Tolstoi “Aritmeetikast”.

a) Kahel mehel on 35 lammast. Ühel on 9 lammast rohkem kui teisel. Mitu lammast on igal inimesel?

b) Kahel mehel on 40 lammast ja ühel on 6 lammast vähem kui teisel. Mitu lammast on igal mehel?

Garaažis oli 23 sõiduautod ja külgkorviga mootorrattad. Autodel ja mootorratastel on 87 ratast. Mitu mootorratast on garaažis, kui igal külgkorvil on varuratas?

"Euleri ringid".

Majas elab 120 elanikku, kellest osadel on koerad ja kassid. Pildil on ring KOOS kujutab elanikke koertega, ring TO – kassidega elanikud. Kui paljudel üürnikel on nii koeri kui kasse? Kui paljudel üürnikel on ainult koerad? Kui paljudel üürnikel on ainult kassid? Kui paljudel üürnikel pole ei koeri ega kasse?

52 kooliõpilasest mängib võrk- ja 35 korvpalli 23 ning nii võrk- kui korvpalli 16. Ülejäänud ei harrasta ühtegi neist spordialadest. Kui paljud koolilapsed ei harrasta ühtegi neist spordialadest?

Pildil on ring A kujutab kõiki ülikooli töötajaid, kes teavad inglise keel, ring N – kes oskavad saksa keelt ja ringkonda F - prantsuse keel. Kui paljud ülikooli töötajad oskavad: a) 3 keelt; b) inglise ja saksa keel; c) prantsuse keel? Kui palju ülikooli töötajaid on? Kui paljud neist ei räägi prantsuse keelt?

IN rahvusvaheline konverents Osales 120 inimest. Neist 60 räägib vene keelt, 48 inglise keelt, 32 saksa keelt, 21 vene ja saksa keelt, 19 inglise ja saksa keelt, 15 vene ja inglise keelt ning 10 inimest kõiki kolme keelt. Kui paljud konverentsil osalejad ei räägi ühtegi neist keeltest?

Kooris laulab ja tantsib 82 õpilast. rütmiline võimlemineÕpilasi on 32, kooris laulab ja rütmilise võimlemisega tegeleb 78 õpilast. Kui palju õpilasi laulab kooris, tantsib ja tegeleb rütmilise võimlemisega eraldi, kui on teada, et iga õpilane teeb ainult ühte asja?

Iga meie majas elav pere tellib kas ajalehe või ajakirja või mõlemat. Ajalehte tellib 75 peret ja ajakirja 27 peret ning nii ajakirja kui ajalehte ainult 13 peret. Mitu perekonda elab meie majas?

"Andmete korrigeerimise meetod".

3 väikeses ja 4 suures kimbus on 29 lilli ning 5 väikeses ja 4 suures kimbus 35 lilli. Kui palju lilli on igas kimpus eraldi?

Kahe šokolaaditahvli – suure ja väikese – mass on 120 g ning 3 suure ja 2 väikese – 320 g. Kui suur on iga tahvli mass?

5 õuna ja 3 pirni kaaluvad 810 g ning 3 õuna ja 5 pirni kaaluvad 870 g Kui palju kaalub üks õun? Üks pirn?

Neli pardi- ja viis hanepoega kaaluvad 4 kg 100 g, viis pardi- ja neli hanepoega kaaluvad 4 kg. Kui palju üks pardipoeg kaalub?

Ühe hobuse ja kahe lehma kohta antakse päevas 34 kg heina ning kahe hobuse ja ühe lehma kohta 35 kg heina. Kui palju heina antakse ühele hobusele ja kui palju ühele lehmale?

3 punast kuubikut ja 6 sinist kuubikut maksavad 165 tenge rubla. Veelgi enam, viis punast on 95 tenge kallimad kui kaks sinist. Kui palju iga kuubik maksab?

2 visandivihikut ja 3 margialbumit kokku maksavad 160 rubla ja 3 visandivihikut 45 rubla. kallim kui kaks margialbumit.

"Loeb".

Serjoža otsustas kinkida oma emale sünnipäevaks lillekimbu (roosid, tulbid või nelgid) ja panna need kas vaasi või kannu. Kui mitmel viisil saab ta seda teha?

Mitu kolmekohalist arvu saab numbritest 0, 1, 3, 5 teha, kui numbris olevad numbrid ei kordu?

Kolmapäeval on 5. klassis viis tundi: matemaatika, kehaline kasvatus, ajalugu, vene keel ja loodusõpetus. Kui palju erinevaid valikuid Kas saate kolmapäevaks ajakava kokku panna?

"Iidne viis ainete segamisega seotud probleemide lahendamiseks."

Kuidas õlisid segada?Ühel inimesel oli müügis kahte tüüpi õli: üks ämber hinnaga 10 grivnat, teine ​​ämber hinnaga 6 grivnat. Ta tahtis nendest kahest õlist valmistada õli, segades need kokku, makstes 7 grivnat ämber. Milliseid osi neist kahest õlist peate võtma, et saada 7 grivna väärtuses ämbrit õli?

Kui palju karamelli on vaja võtta hinnaga 260 tenge 1 kg ja hinnaga 190 tenge 1 kg, et valmistada 21 kg segu hinnaga 210 tenge kilogrammi kohta?

Kellelgi on kolme sorti teed – Tseiloni tee 5 grivna nael, India tee 8 grivna nael ja Hiina tee 12 grivna nael. Millises vahekorras tuleks neid kolme sorti segada, et saada 6 grivna väärtuses teed naelast?

Kellelgi on erineva standardiga hõbe: üks on 12. etalon, teine ​​10. etalon, kolmas 6. etalon. Kui palju hõbedat peaksite võtma, et saada 1 nael 9. standardhõbedat?

Kaupmees ostis 540 rubla eest 138 aršinit musta ja sinist riiet. Küsimus on selles, et mitu arshinit ta mõlema eest ostis, kui sinine maksis 5 rubla? aršini ja musta eest - 3 rubla?

Erinevad ülesanded.

Aastavahetuse kingitusteks ostsime 87 kg puuvilju ja õunu oli 17 kg rohkem kui apelsine. Mitu õuna ja mitu apelsini ostsite?

Vastlapuu juures oli karnevalikostüümides lastele mõeldud lumehelbeid 3 korda rohkem kui petersellikostüümides. Mitu last oli Peterselli kostüümides, kui neid oli 12 võrra vähem?

Masha sai 2 korda vähem uusaastatervitusi kui Kolya. Kui palju õnnitlusi sai iga inimene, kui neid oli kokku 27? (9 ja 18).

Aastavahetuse auhindadeks osteti 28 kg maiustusi. Kommid "Pääsuke" koosnesid 2 osast, "Muse" - 3 osast, "Romashka" - 2 osast. Kui palju igat tüüpi maiustusi ostsite? (8, 8, 12).

Jahu on laos 2004 kg. Kas seda saab panna 9 kg ja 18 kg kaaluvatesse kottidesse?

Kaupluses "Kõik teeks" on 5 erinevat tassi ja 3 erinevat alustassi Mitmel viisil saab tassi ja alustassi osta?

Hobune sööb heinakuhja 2 päevaga, lehm 3, lammas 6 päevaga. Mitu päeva kulub neil heinakuhja ära süüa, kui nad seda koos söövad?

Vaadake dokumendi sisu
"tunni kokkuvõte arif sp"

"Aritmeetilised meetodid tekstülesannete lahendamiseks."

Matemaatikaõpilasel on sageli kasulikum lahendada sama ülesanne kolmel erineval viisil kui lahendada kolm või neli erinevaid ülesandeid. Ühte ülesannet erineval viisil lahendades saate võrdluse teel välja selgitada, milline neist on lühem ja tõhusam. Nii kujuneb kogemus.

W. W. Sawyer

Tunni eesmärk: kasutada eelmistes tundides omandatud teadmisi, näidata kujutlusvõimet, intuitsiooni, kujutlusvõimet ja leidlikkust testiülesannete mitmekülgseks lahendamiseks.

Tunni eesmärgid: hariv: analüüsides neid ülesandeid, jälgides, mis on ülesannetel matemaatiku seisukohalt ühist, millised on erinevused, leides erakordse lahendusviisi, luues ülesannete lahendamise tehnikate hoiupõrsa, õppides lahendama ühte ülesannet erinevatel viisidel.

Arendav: tunnete eneseteostuse vajadust teatud rollisituatsiooni leidmisel.

Hariduslik: areneda isikuomadused, moodustavad suhtluskultuuri.

Haridusvahendid: sama teema alla rühmitatud ülesannete simulaator “Ülesannete lahendamise aritmeetilised meetodid”, ülesanded rühmatööks ja individuaalseks tööks.

TUNNIDE AJAL.

I. Aja organiseerimine

Tere kutid. Istu maha. Täna on meil õppetund teemal "Aritmeetilised meetodid tekstülesannete lahendamiseks".

II. Teadmiste värskendamine.

Matemaatika on üks iidsetest ja tähtsatest teadustest. Inimesed kasutasid palju matemaatilisi teadmisi iidsetel aegadel – tuhandeid aastaid tagasi. Need olid vajalikud kaupmeestele ja ehitajatele, sõdalastele ja maamõõtjatele, preestritele ja ränduritele.

Ja tänapäeval ei saa ükski inimene elus hakkama ilma heade matemaatikateadmisteta. Matemaatika hea mõistmise aluseks on oskus arvutada, mõelda, arutleda ja leida probleemidele edukaid lahendusi.

Täna vaatleme tekstülesannete lahendamise aritmeetilisi meetodeid, analüüsime iidseid ülesandeid, mis on meieni jõudnud erinevad riigid ja ajad, ülesanded võrdsustamisel, võrdlemine summa ja vahe järgi ja muud.

Tunni eesmärk on sind kaasata hämmastav maailm ilu, rikkus ja mitmekesisus – huvitavate väljakutsete maailm. Seetõttu tutvustame teile mõningaid aritmeetilisi meetodeid, mis viivad väga elegantsete ja õpetlike lahendusteni.

Ülesanne on peaaegu alati otsing, mingite omaduste ja seoste avastamine ning selle lahendamise vahenditeks intuitsioon ja oletused, eruditsioon ja matemaatiliste meetodite valdamine.

Matemaatikas on peamised aritmeetilised ja algebralised ülesannete lahendamise meetodid.

Ülesande lahendamine aritmeetilisel meetodil tähendab ülesande nõudele vastuse leidmist arvudega aritmeetilisi tehteid sooritades.

Algebralise meetodiga leitakse vastus ülesande küsimusele võrrandi koostamise ja lahendamise tulemusena.

Pole saladus, et inimene, kes omab erinevaid tööriistu ja kasutab neid sõltuvalt tehtava töö iseloomust, saavutab oluliselt paremaid tulemusi kui inimene, kes omab ainult üht universaalset tööriista.

Ülesannete lahendamiseks on palju aritmeetilisi meetodeid ja mittestandardseid tehnikaid. Täna tahan teile mõnda neist tutvustada.

1. Tekstülesannete lahendamise meetod "Arvude võrdlemine summa ja erinevuse järgi."

Ülesanne : Vanaema sügisel koos suvila kogus 51 kg porgandit ja kapsast. Kapsast oli 15 kg rohkem kui porgandit. Mitu kilogrammi porgandit ja mitu kilogrammi kapsast vanaema kogus?

Küsimused, mis vastavad ülesannete lahendamise algoritmi punktidele sellest klassist.

1. Uurige, millistest kogustest ülesandes räägitakse

Vanaema kogutud porgandite ja kapsaste arvust koos ja eraldi.

2. Märkige, milliste koguste väärtused tuleb ülesandes leida.

Mitu kilogrammi porgandit ja mitu kilogrammi kapsast vanaema kogus?

3. Nimeta ülesandes olevate suuruste seos.

Ülesanne räägib suuruste summast ja erinevusest.

4. Nimetage suuruste väärtuste summa ja erinevus.

Summa – 51 kg, vahe – 15 kg.

5. Koguste võrdsustamisel leia kahekordne väärtus väiksem väärtus (lahutage väärtuste summast väärtuste erinevus).

51 – 15 = 36 (kg) – kahekordne kogus porgandeid.

6. Teades kahekordistunud väärtust, leia väiksem väärtus (jaga kahekordistunud väärtus kahega).

36: 2 = 18 (kg) – porgand.

7. Kasutades suuruste erinevust väiksema koguse väärtusest, leia suurema koguse väärtus.

18 + 15 = 33 (kg) – kapsas. Vastus: 18 kg, 33 kg. Ülesanne.Puuris on faasanid ja küülikud. Kokku on 6 pead ja 20 jalga. Mitu küülikut ja mitu faasanit on puuris ?
1. meetod. Valikumeetod:
2 faasanit, 4 jänest.
Kontroll: 2 + 4 = 6 (väravad); 4 4 + 2 2 = 20 (jalga).
See on valikumeetod (alates sõnast “valima”). Selle lahendusmeetodi eelised ja puudused (raske valida, kui numbrid on suured) Seega tekib stiimul mugavamate lahendusviiside otsimiseks.
Arutelu tulemused: valikumeetod on mugav väikeste arvudega töötamisel; kui väärtused suurenevad, muutub see irratsionaalseks ja töömahukaks.
2. meetod. Lõpetage valikute otsing.

Koostatakse tabel:

Vastus: 4 jänest, 2 faasanit.
Selle meetodi nimi on "täis". Arutelu tulemused: ammendav otsingumeetod on mugav, kuid suurte väärtuste puhul on see üsna töömahukas.
3. meetod. Arvamismeetod.

Võtame ühe vana Hiina probleemi:

Puuris on teadmata arv faasaneid ja küülikuid. On teada, et kogu rakk sisaldab 35 pead ja 94 jalga. Uuri faasanite arvukust ja jäneste arvukust.(Probleem Hiina matemaatilisest raamatust “Kiu-Chang”, koostatud 2600 eKr).

Siin on matemaatika vanadelt meistridelt leitud dialoog. - Kujutagem ette, et paneme porgandi puurile, milles istuvad faasanid ja küülikud. Kõik küülikud seisavad tagajalgadel, et porgandini jõuda. Mitu jalga on sel hetkel maas?

Aga probleemipüstituses on antud 94 jalga, kus on ülejäänud?

Ülejäänud jalgu ei arvestata – need on küülikute esijalad.

Kui palju neid on?

24 (94 – 70 = 24)

Mitu küülikut seal on?

12 (24: 2 = 12)

Aga faasanid?

23 (35- 12 = 23)

Selle meetodi nimi on "puudujääkide äraarvamise meetod". Proovige seda nime ise selgitada (puuris istujatel on 2 või 4 jalga ja me eeldasime, et kõigil on neist numbritest kõige väiksem - 2 jalga).

Teine võimalus sama probleemi lahendamiseks. - Proovime seda probleemi lahendada "ülejäägi eelduse meetodi" abil: kujutame ette, et faasanitel on nüüd veel kaks jalga, siis on kõik jalad 35 × 4 =140.

Aga vastavalt probleemi tingimustele on jalga vaid 94, s.t. 140 – 94= 46 lisajalga, kes need on? Need on faasanite jalad, neil on lisajalad. Tähendab, faasanid tahe 46: 2 = 23, siis jänesed 35 -23 = 12.
Arutelu tulemused: eeldusmeetodil on kaks võimalust- Kõrval puudus ja liig; Võrreldes varasemate meetoditega on see mugavam, kuna on vähem töömahukas.
Ülesanne. Aeglaselt kõnnib läbi kõrbe kaamelikaravan, neid on kokku 40. Kui kõik nende kaamelite küürud kokku lugeda, siis saad 57 küüru. Mitu dromedarkaamelit selles karavanis on?1 viis. Lahendage võrrandi abil.

Kübarate arv inimese kohta Kaamelite arv Küüru koguarv

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

2. meetod.

- Mitu küüru võib kaamelil olla?

(võib olla kaks või üks)

Kinnitame iga kaameli küüru külge lille.

- Kui palju lilli vajate? (40 kaamelit – 40 lille)

- Mitu küüru jääb ilma lilledeta?

(Selliseid tuleb 57-40=17 . See teine ​​küür Baktria kaamelid).

Kui palju Baktria kaamelid? (17)

Kui palju dromedari kaamelid? (40-17=23)

Mis on vastus probleemile? ( 17 ja 23 kaamelit).

Ülesanne.Garaažis olid külgkorviga autod ja mootorrattad, kokku 18. Autodel ja mootorratastel oli 65 ratast. Mitu külgkorviga mootorratast oli garaažis, kui autodel on 4 ratast ja mootorratastel 3 ratast?

1 viis. Kasutades võrrandit:

Rataste arv 1 kohta Rataste koguarv

Mash. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Sõnastame probleemi ümber : Garaaži, kus seisis 18 autot ja külgkorviga mootorratast, võtnud röövlid eemaldasid igalt autolt ja mootorrattalt kolm ratast ning viisid need minema. Mitu ratast on garaaži alles, kui neid oleks 65? Kas need kuuluvad autole või mootorrattale?

3×18=54 – nii palju rattaid röövlid ära viisid,

65- 54 = 11 – nii palju rattaid alles (autod garaažis),

18 - 11 = 7 mootorratast.

Vastus: 7 mootorratast.

Üksinda:

Garaažis oli 23 autot ja külgkorviga mootorratast. Autodel ja mootorratastel on 87 ratast. Mitu mootorratast on garaažis, kui igal külgkorvil on varuratas?

- Mitu ratast on autodel ja mootorratastel koos? (4 × 23 = 92)

- Mitu varuratast panite igasse vankrisse? (92–87 = 5)

- Mitu autot on garaažis? (23 - 5=18).

Ülesanne.Meie klassis saab õppida inglise keelt või prantsuse keeled(valikuliselt). Teadaolevalt õpib inglise keelt 20 koolilast, prantsuse keelt 17. Kokku õpib klassis 32 õpilast. Kui palju õpilasi õpib nii inglise kui ka prantsuse keelt?

Joonistame kaks ringi. Ühes paneme kirja inglise keelt õppivate kooliõpilaste arvu, teises - prantsuse keelt õppivate kooliõpilaste arvu. Kuna vastavalt probleemi tingimustele seal õpivad õpilasedmõlemad keeled: inglise ja prantsuse keel, siis on ringidel ühine osa. Selle probleemi tingimusi pole nii lihtne mõista. Kui liita 20 ja 17, saad rohkem kui 32. Seda seletab asjaolu, et lugesime siin osa koolilapsi kaks korda – nimelt neid, kes õpivad mõlemat keelt: inglise ja prantsuse keelt. Niisiis, (20 + 17) – 32 = 5 Õpilased õpivad mõlemat keelt: inglise ja prantsuse keelt.

Inglise Fran.

20 õppetundi 17 kool

(20 + 17) – 32 = 5 (õpilased).

Matemaatikas nimetatakse sarnaseid skeeme, mida kasutasime ülesande lahendamiseks Euleri ringid (või diagrammid). Leonhard Euler (1736) sündinud Šveitsis. Aga pikki aastaid elas ja töötas Venemaal.

Ülesanne.Iga meie majas elav pere tellib kas ajalehe või ajakirja või mõlemat. Ajalehte tellib 75 peret ja ajakirja 27 peret ning nii ajakirja kui ajalehte ainult 13 peret. Mitu perekonda elab meie majas?

Ajalehed ajakirjad

Pildil on näha, et majas elab 89 peret.

Ülesanne.Rahvusvahelisel konverentsil osales 120 inimest. Neist 60 räägib vene keelt, 48 inglise keelt, 32 saksa keelt, 21 vene ja saksa keelt, 19 inglise ja saksa keelt, 15 vene ja inglise keelt ning 10 inimest kõiki kolme keelt. Kui paljud konverentsil osalejad ei räägi ühtegi neist keeltest?

vene keel 15 inglise keel

21 10 19

saksa keel

Lahendus: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (isikut).

Ülesanne. Kolm kassipoega ja kaks kutsikat kaaluvad 2 kg 600 g ning kaks kassipoega ja kolm kutsikat kaaluvad 2 kg 900 g Kui palju kutsikas kaalub?

3 kassipoega ja 2 kutsikat – 2kg 600 g

2 kassipoega ja 3 kutsikat – 2 kg 900 g.

Tingimusest järeldub, et 5 kassipoega ja 5 kutsikat kaaluvad 5 kg 500 g See tähendab, et 1 kassipoeg ja 1 kutsikas kaaluvad 1 kg 100 g

2 kassi ja 2 kutsikat. kaal 2 kg 200 g

Võrdleme tingimusi -

2 kassipoega + 3 kutsikat = 2kg 900 g

2 kassipoega + 2 kutsikat = 2 kg 200 g, näeme, et kutsikas kaalub 700 g.

Ülesanne.Ühe hobuse ja kahe lehma kohta antakse päevas 34 kg heina ning kahe hobuse ja ühe lehma kohta 35 kg heina. Kui palju heina antakse ühele hobusele ja kui palju ühele lehmale?

Kirjutame üles probleemi lühikirjelduse:

1 hobune ja 2 lehma -34kg.

2 hobust ja 1 lehm -35kg.

Kas on võimalik teada, kui palju heina on vaja 3 hobuse ja 3 lehma jaoks?

(3 hobusele ja 3 lehmale – 34+35=69 kg)

Kas on võimalik teada saada, kui palju heina kulub ühele hobusele ja ühele lehmale? (69: 3–23 kg)

Kui palju heina vajab üks hobune? (35-23 = 12 kg)

Kui palju heina vajab üks lehm? (23–13 = 11 kg)

Vastus: 12kg ja 11kg.

Ülesanne.Madina otsustas hommikust süüa kooli sööklas. Uurige menüüd ja vastake, mitmel viisil saab ta jooki ja kondiitritoote valida?

Oletame, et Madina valib joogiks tee. Millist kondiitritoote saab ta tee jaoks valida? (tee - juustukook, tee - küpsised, tee - kukkel)

Mitu viisi? (3)

Mis siis, kui see on kompott? (ka 3)

Kuidas saate teada, kui palju võimalusi saab Madina lõunasöögi valimiseks kasutada? (3+3+3=9)

Jah sul on õigus. Kuid selle probleemi lahendamise hõlbustamiseks kasutame graafikuid. Sõna "graaf" tähendab matemaatikas pilti, millele on joonistatud mitu punkti, millest osa on ühendatud joontega. Määrame joogid ja maiustused punktid ja ühendage nende roogade paarid, mille Madina valib.

tee piima kompott

juustukook küpsiste kukkel

Nüüd loendame ridade arvu. Neid on 9. See tähendab, et roogade valimiseks on 9 võimalust.

Ülesanne.Serjoža otsustas kinkida oma emale sünnipäevaks lillekimbu (roosid, tulbid või nelgid) ja panna need kas vaasi või kannu. Kui mitmel viisil saab ta seda teha?

Mitu viisi sa arvad? (3)

Miks? (3 värvi)

Jah. Aga nõusid on ka erinevat tüüpi: kas vaas või kann. Proovime ülesande graafiliselt täita.

vaasikann

roosid tulbid nelgid

Loendage ridu. Kui palju neid on? (6)

Niisiis, mitu võimalust peab Seryozha valima? (6)

Tunni kokkuvõte.

Täna lahendasime mitmeid probleeme. Kuid töö pole lõpetatud, soov on seda jätkata ja loodan, et see aitab teil tekstülesandeid edukalt lahendada.

Teame, et probleemide lahendamine on praktiline kunst, nagu ujumine või klaverimäng. Seda saab õppida ainult jäljendades häid näiteid, pidevalt harjutades.

Need on vaid kõige lihtsamad probleemid; keerulised jäävad tuleviku uurimise teemaks. Kuid neid on ikkagi palju rohkem, kui suudaksime lahendada. Ja kui tunni lõpus saate probleeme lahendada "õppematerjali lehtede taga", siis võime lugeda, et olen oma ülesande täitnud.

Matemaatika tundmine aitab lahendada teatud eluprobleem. Elus peate regulaarselt lahendama teatud probleeme, selleks peate arendama intellektuaalseid võimeid, tänu millele areneb sisemine potentsiaal, areneb võime olukorda ette näha, ennustada ja teha ebastandardseid otsuseid.

Tahan õppetunni lõpetada sõnadega: "Iga hästi lahendatud matemaatiline ülesanne pakub vaimset naudingut." (G. Hesse).

Kas olete sellega nõus?

Kodutöö .

Kodus antakse järgmine ülesanne: kasutades näidisena lahendatud ülesannete tekste, lahendada ülesanded nr 8, 17, 26 meie poolt uuritud meetoditega.

Ülesannete lahendamine aritmeetiliste meetodite abil

Matemaatika tund 5. klassis.

"Kui tahad ujuma õppida, siis astu julgelt vette ja kui tahad õppida probleeme lahendama, siis lahenda need ära.".
D. Polya

Tunni eesmärgid ja eesmärgid:

ülesannete lahendamise oskuse arendamine aritmeetilise meetodi abil;

arengut loovus, kognitiivne huvi;

loogilise mõtlemise arendamine;

armastuse kasvatamine teema vastu;

matemaatilise mõtlemise kultuuri edendamine.

Varustus: signaalkaardid numbritega 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment (1 min.)

Tund on pühendatud ülesannete lahendamisele aritmeetilise meetodi abil. Täna lahendame erinevat tüüpi ülesandeid, kuid kõik need lahendatakse ilma võrrandite abita.

II. Ajalooline viide (1 min.)

Ajalooliselt pikka aega matemaatilisi teadmisi põlvest põlve edasi antud praktiliste probleemide loeteluna koos nende lahendustega. Iidsetel aegadel peeti koolitatuks inimest, kes teadis, kuidas teatud tüüpi praktikas ette tulnud probleeme lahendada.

III. Soojendama (ülesannete lahendamine suuliselt - 6 min.)
a) Probleemid kaartidel.
Igale õpilasele antakse kaart ülesandega, mille ta lahendab suuliselt ja annab vastuse. Kõik ülesanded toimingule 3 – 1 = 2.

(Õpilased lahendavad ülesandeid õigesti ja mõned mitte. Kõik suuliselt. Tõstavad kaardid üles ja õpetaja näeb, kes ülesande lahendas; kaartidel peaks olema number 2.)

b) Ülesanded värsis ja loogikaprobleemid. (Õpetaja loeb ülesande ette, õpilased tõstavad õige vastusega kaardi.

Siil andis pardipojad
Kumb meestest vastab?
Kaheksa nahast saapaid
Mitu pardipoega seal oli?
(Neli.)

Kaks nobedat põrsast
Neil oli nii külm, et värisesid.
Arvutage ja öelge:
Kui palju saapaid peaksin ostma?
(Kaheksa.)

ma sisenesin Männipuu
Ja ma nägin kärbseseent
Kaks mee seent,
Kaks moreli.
Kolm õlipurki,
Kaks rida...
Kellel on vastus valmis:
Mitu seeni ma leidsin?
(Kümme.)

4. Õues jalutasid kanad ja koerad. Poiss luges nende käpad. Selgus, et see on kümme. Mitu kana ja mitu koera võiks olla? (Kaks koera ja üks kana, üks koer ja kolm kana.)

5. Arsti ettekirjutuse järgi ostsime apteegist 10 tabletti. Arst kirjutas mulle 3 tabletti päevas. Mitu päeva see ravim kestab? (Täispäevad.)

6. Vend on 7-aastane ja õde 5-aastane. Kui vanaks saab õde, kui vend on 10-aastane?

7. Antud arvud: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. kumb on suurem: kas nende korrutis või summa?

8. Aia ehitamisel asetasid puusepad sirgjooneliselt 5 sammast. Postide vahe on 2 m Kui pikk on aia?

IV. Probleemi lahendamine

(Ülesanded lastele antakse kaartidel - 15 minutit. Lapsed lahendavad ülesandeid tahvli juures)
Ülesanded a) ja b) on suunatud seoste “... rohkem” ja “... vähem” vahelise seose kordamisele liitmise ja lahutamise tehtega.

a) Treial õpipoiss keeras vahetuses 120 detaili ja treial 36 detaili rohkem. Mitu osa treial ja tema õpipoiss kokku keerasid?

b) Esimene meeskond kogus vahetuse jooksul 52 seadet, teine?- 9 seadet vähem kui esimene ja kolmas - 12 seadet rohkem kui teine. Mitu seadet kogusid kolm meeskonda vahetuse jooksul?

Ülesande c) abil saab õpilastele näidata ülesande lahendust "tagurpidi".

c) Kolmes klassis on 44 tüdrukut – see on 8 võrra vähem kui poisse. Mitu poissi on kolmes klassis?

Ülesandes d) saavad õpilased välja pakkuda mitu lahendust.

d) Kolmelt õelt küsiti: "Kui vanad mõlemad õed on?" Vera vastas, et tema ja Nadya olid koos 28-aastased, Nadya ja Lyuba olid koos 23-aastased ning kõik kolm olid 38-aastased. Kui vanad mõlemad õed on?

Ülesande e) eesmärk on korrata seost "rohkem sisse..." ja "vähem sisse...".

e) Vasjal oli 46 marka. Aastaga suurenes tema kogu 230 margi võrra. Mitu korda on tema kollektsioon suurenenud?

V. Kehalise kasvatuse minut (2 minutit.)

Seisa ühel jalal
Oled justkui vankumatu sõdur.
Tõstke vasak jalg üles.
Vaata, ära kuku.
Nüüd seisa vasakul,
Kui oled julge sõdur.

VI. Muistsed, ajaloolised probleemid. Probleemid muinasjutu sisuga (10 min.)

Ülesanne e) leida kaks arvu nende summa ja erinevuse järgi.

e)(L. N. Tolstoi "Aritmeetikast")

Kahel mehel on 35 lammast. Ühel on 9 rohkem kui teisel. Mitu lammast on igal inimesel?

Liikumise ülesanne.

ja)(Vana probleem.)Moskvast väljus Tverisse korraga kaks rongi. Esimene läbis 39 versti tunnis ja jõudis Tverisse kaks tundi varem kui teine, mis sõitis 26 versti tunnis. Mitu miili Moskvast Tverini?

(Lihtsam on vastuseni jõuda võrrandi abil. Õpilasi julgustatakse aga otsima ülesandele aritmeetilist lahendust.)

1) 26 * 2 = 52 (versti) – teine ​​rong jäi esimesest nii palju miile maha;

2) 39 - 26 = 13 (versti) - nii mitme miili võrra jäi teine ​​rong esimesest 1 tunni võrra maha;

3) 52: 13 = 4 (h) – nii kaua kulus esimese rongi reisimiseks;

4) 39 * 4 = 156 (versti) - kaugus Moskvast Tverini.

Vahemaa kilomeetrites leidmiseks võite otsida teatmeteostest.

1 verst = 1 km 69 m.

Ülesanne on jagatud osadeks.

h)Kikimora ülesanne.Merman otsustas abielluda kikimore Ha-Ha-ga. Ta istutas oma kikimore-loorile mitu kaanet ja kaks korda rohkem oma keebile. Puhkuse ajal kukkus maha 15 kaani ja alles 435. Mitu kaanet oli kikimora looril?

(Ülesanne on antud lahendada võrrandi abil, aga me lahendame selle aritmeetiliselt)

VII. Live numbrid (mahalaadimispaus – 4 min.)

Õpetaja kutsub 10 õpilast tahvli juurde ja annab neile numbrid 1 kuni 10. Õpilased saavad erinevaid ülesandeid;

a) õpetaja helistab numbritele; nimetatud astuvad sammu edasi (nt: 5, 8, 1, 7);

b) välja tulevad ainult nimetatud numbri naabrid (näiteks: number 6, 5 ja 7 tulevad välja);

c) õpetaja pakub näiteid ja välja tuleb ainult see, kellel on sellele näitele või probleemile vastus (näiteks: 2 ´ 4; 160: 80; jne);

d) õpetaja teeb mitu plaksutamist ja näitab ka numbrit (üks või kaks); tuleb välja õpilane, kelle arv on kõigi kuuldud ja nähtud arvude summa (näiteks: 3 plaksutamist, number 5 ja number 1.);

mis arv on 4 suurem kui neli?

Mõtlesin arvu, lahutasin sellest 3, sain 7. Millise arvu ma mõtlesin?

kui lisate kavandatud arvule 2, saate 8. Mis on kavandatud arv?

Peame püüdma ülesandeid valida nii, et vastustes ei korduks samad numbrid, et kõik saaksid aktiivselt mängus osaleda.

VIII. Õppetunni kokkuvõte (2 minutit.)

- Mida me täna tunnis tegime?

- Mida tähendab ülesande lahendamine aritmeetika abil?

- Peame meeles pidama, et probleemile leitud lahendus peab vastama probleemi tingimustele.

IX. Kodutöö ülesanne. Hindamine (2 minutit.)

№ 387 (ülesannete lahendamine aritmeetilisel meetodil), nõrkadele õpilastele. Keskmiste ja tugevate õpilaste jaoks on kodutööd antud kaartidel.

1. Pagariäris oli 645 kg musta ja valget leiba. Pärast 215 kg musta ja 287 kg saia müüki jäi mõlemat leivasorti järele võrdne kogus. Mitu kilogrammi musta ja valget leiba oli pagariäris eraldi?

Vend ja õde leidsid metsast 25 puravikku. Vend leidis 7 seeni rohkem kui õde. Mitu puravikku su vend leidis?

Kompoti jaoks võtsime 6 osa õunu, 5 osa pirne ja 3 osa sõnu. Selgus, et pirnidest ja ploomidest kokku kulus 2 kg 400 g Määratakse võetud õunte mass; kõigi puuviljade mass.

Kirjandus

Vilenkin N., Žohhov V., Tšesnokov A.Matemaatika. 5. klass. - M., "Mnemosyne", 2002.

Shevkin A.V.Tekstiülesanded koolimatemaatika kursusel. - M.: Pedagoogikaülikool “Esimene september”, 2006.

Volina V.Numbrite puhkus. - M.: Teadmised, 1994.

Kogemuste üldistamine.

Tekstiülesanded koolimatemaatika kursusel.

Aritmeetilised meetodid ülesannete lahendamiseks.

Soldatova Svetlana Anatolevna

esimese kategooria matemaatikaõpetaja

Munitsipaalõppeasutus Uglichi füüsika- ja matemaatikalütseum

2017. aasta

"...sel ajal kui me üritame matemaatika õpetamist eluga siduda, on meil raske ilma tekstülesanneteta hakkama saada - see on vene metoodika jaoks traditsiooniline matemaatika õpetamise vahend."

A.V.Ševkin

Me kohtame igapäevaelus pidevalt mõistet "ülesanne". Igaüks meist lahendab teatud probleeme, mida me nimetame ülesanneteks. Selle sõna laiemas tähenduses allprobleemi all mõistetakse teatud olukorda, mis nõuab inimese uurimist ja lahendamist .

Sageli nimetatakse ülesandeid, mille puhul objektid on matemaatilised (teoreemide tõestus, arvutusharjutused, uuritava matemaatilise kontseptsiooni omadused ja atribuudid, geomeetriline joonis).matemaatika ülesandeid . Tavaliselt nimetatakse matemaatilisi probleeme, milles on vähemalt üks objekt, mis on reaalne subjekttekst. Matemaatika algõpetuses on tekstülesannete roll suur.

Tekstülesandeid lahendades omandavad õpilased uusi matemaatilisi teadmisi ja valmistuvad praktiliseks tegevuseks. Ülesanded aitavad arendada nende loogilist mõtlemist.

Tekstülesannete lahendamiseks on erinevaid meetodeid: aritmeetiline, algebraline, geomeetriline, loogiline, praktiline jne. Iga meetod põhineb erinevat tüüpi matemaatilistel mudelitel. Näiteks millalalgebraline meetod ülesande lahendamiseks koostatakse võrrandid või võrratused koosgeomeetriline - koostatakse diagramme või graafikuid. Probleemi lahendusloogiline meetod algab algoritmi koostamisega.

Tuleb meeles pidada, et peaaegu iga valitud meetodi probleemi saab lahendada erinevate mudelite abil. Seega saab algebralist meetodit kasutades vastuse sama ülesande nõudele saada täiesti erinevate võrrandite koostamisel ja lahendamisel, loogilisel meetodil - erinevate algoritmide konstrueerimisel. On selge, et nendel juhtudel on meil ka tegemist erinevate meetoditega konkreetse probleemi lahendamiseks, mida ma kutsunlahendusi.

Probleemi lahendama aritmeetiline meetod - tähendab ülesande nõudele vastuse leidmist arvudega aritmeetilisi tehteid sooritades. Paljudel juhtudel saab sama probleemi lahendada erinevate aritmeetiliste meetodite abil. Probleem loetakse mitmel viisil lahendatuks, kui selle lahendused erinevad lahenduste aluseks olevate andmete ja otsitavate seoste või nende seoste järjestuse poolest.

Traditsioonilises vene koolis matemaatikaõpetuses on tekstülesanded alati hõivatud eriline koht. Ühest küljest pärineb kõigi tsiviliseeritud maade tekstülesannete kasutamise praktika õppeprotsessis Vana-Babüloni savitahvlitelt ja muudest iidsetest kirjalikest allikatest, st sellel on seotud juured. Seevastu Venemaale omane õpetajate tähelepanelik tähelepanu tekstiülesannetele on peaaegu eranditult vene nähtus.

Üks probleemidele pööratud suure tähelepanu põhjus on see, et ajalooliselt oli pikka aega lastele aritmeetika õpetamise eesmärk omandada teatud hulk praktiliste arvutustega seotud arvutusoskusi. Samal ajal polnud aritmeetika põhijoont - arvurida - veel välja töötatud ja arvutamist õpetati ülesannete kaudu.

Teine põhjus, miks Venemaal on suurenenud tähelepanu tekstiülesannete kasutamisele, on see, et Venemaal mitte ainult ei võeta kasutusele ja arendati iidset matemaatiliste teadmiste ja arutlustehnikate edastamise meetodit tekstülesannete abil, vaid õpiti ka ülesannete abil moodustama. , tekstianalüüsiga seotud olulised üldhariduslikud oskused , probleemi ja küsimuse tingimuste esiletoomine, lahendusplaani koostamine, küsimuse püstitamine ja tingimuste otsimine, millest saadud tulemust kontrollides saab vastuse.

50ndate keskpaigaksXXV. tekstülesanded olid hästi süstematiseeritud,välja töötatud probleemide tüpoloogia, sealhulgas ülesanded osade kohta, kahe arvu leidmisel nende summa ja erinevuse järgi, nende suhte ja summa (erinevus), murdude, protsentide, koos töötama, lahuste ja sulamite jaoks, otsese ja pöördvõrdelisuse jaoks jne.

Selleks ajaks oli nende õppeprotsessis kasutamise metoodika hästi välja töötatud, kuid reformi käigus matemaatika haridus 60ndate lõpus suhtumine neisse muutus. Vaadates üle aritmeetika rolli ja kohta kooliainete süsteemis, püüdes võrrandite ja funktsioonide varasema kasutuselevõtu kaudu suurendada matemaatika teaduslikku esitust, leidsid matemaatikud ja matemaatikud metoodikud, et ülesannete lahendamise aritmeetikameetodite õpetamisele kulub liiga palju aega.

Kuid just tekstülesanded ja aritmeetilised meetodid nende lahendamiseks valmistavad last algebra valdamiseks ette. Ja kui see juhtub, õpetab algebra teile viise, kuidas lahendada mõningaid (kuid mitte kõiki!) ülesandeid, mis on lihtsamad kui aritmeetika. Muud aritmeetilised lahendusmeetodid jäävad õpilase aktiivsesse pagasisse. Näiteks kui õpilast õpetati jagama arvu antud suhtega, siis isegi keskkoolis ei jaga ta arvu 15 võrrandi abil vahekorras 2:3, vaid teeb aritmeetilisi tehteid:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Tahan märkida, et olen just selle koolinoorte põlvkonna esindaja, kes eeltoodud reformis osalesid. Käisin koolis 1968. aastal ja mu esimese klassi õpik kandis nime Aritmeetika. Selgub, et olime viimased, kes seda kasutades õppisime. Teises klassis oli minu jaoks üllatav ja ebatavaline, et minu esimese klassi õpilastest tuttavate aine ja seega ka õpik kandis nime “matemaatika”. Kolmandas klassis õppisime juba “matemaatikat”. Keskkoolis ja vastavalt ka keskkoolis oli põhiline tekstülesannete lahendamise viis algebraline. 60ndate lõpu reformi mõju tunnen ma tänaseni, sest... vanematele, kes osalevad haridusprotsess lapsed on tänu sellele, et neil on välja kujunenud teatud stereotüüp, kujundanud arvamuse, et probleeme tuleb lahendada võrrandite abil. Emad ja isad, kes ei tea muid tehnikaid, püüavad kodus järjekindlalt omal moel selgitada, mis pole alati kasulik ja muudab mõnikord isegi õpetaja töö keeruliseks.

Mitte mingil juhul ei tohiks alahinnata ülesannete lahendamise algebralise meetodi väärtust, mis on universaalne ja mõnikord ka ainuke keerulisemate ülesannete lahendamisel. Lisaks annab üsna sageli just võrrand vihje tegevustele lahenduse leidmiseks. Kuid praktika on näidanud, et selle paljutõotava, õppetöös edasise kasutamise seisukohalt, probleemide lahendamise meetodi varajane kasutamine ilma piisava ettevalmistuseta on ebaefektiivne.

5.-6. klassis tuleb maksimaalselt tähelepanu pöörata tekstülesannete lahendamise aritmeetilisele meetodile ja mitte kiirustada võrrandi abil ülesannete lahendamisele. Kui õpilane on algebralise meetodi selgeks õppinud, on peaaegu võimatu teda tagasi viia "toimingute abil lahenduse juurde". Pärast võrrandi koostamist on peamine asi õigesti lahendada ja vältida arvutusviga. Ja te ei pea üldse mõtlema, milliseid aritmeetilisi tehteid lahenduse ajal tehakse, mis on iga toimingu tulemus. Ja kui järgime võrrandi lahendust samm-sammult, näeme samu toiminguid, mis aritmeetilises meetodis.

Väga sageli on näha, et laps ei ole valmis ülesannet algebraliselt lahendama, kui tuuakse sisse abstraktne muutuja ja ilmub fraas “las x...”. Kust see “X” tuli ja millised sõnad selle kõrvale kirjutada, pole õpilasele praeguses etapis selge. Ja see juhtub seetõttu, et selles vanuses lastel on arenenud visuaalne-kujundlik mõtlemine. Ja võrrand on abstraktne mudel. Ja viiendas ja kuuendas klassis käivatel lastel pole võrrandite lahendamiseks tööriistu. Ajalooliselt jõudsid inimesed võrrandite kasutamiseni üldistades lahendusi probleemidele, milles nad pidid opereerima selliste mõistetega nagu “osa”, “hunnik” jne. Laps peab sama teed minema!

Edukaks tööks on oluline, et õpetaja mõistaks sügavuti tekstprobleemi, selle ülesehitust ning oskaks selliseid ülesandeid mitmekülgselt lahendada.

Aastaid tagasi jõudsin minu kätte kaua avaldatud käsiraamatuga 5.–8. klasside õpetajatele (aastal. kaasaegne kool– 5-9 klass) “Moskva matemaatikaolümpiaadide kogumik (lahendustega)” 1967, autor Galina Ivanovna Zubelevitš. Valdav enamus selles sisalduvaid ülesandeid lahendatakse aritmeetiliselt, mis mind väga huvitas. Hiljem köitsid mu tähelepanu kaks õpikut “Aritmeetika, 6” ja “Aritmeetika, 6”, mille autor on A.V. Shevkin ja sama autori käsiraamat õpetajatele “Tekstülesannete lahendamise õpetamine 5.-6. klassis”. Need allikad said minu jaoks selle teemaga töötamise alguse. Pakutud ideed tundusid väga asjakohased ja ühtisid minu arusaamisega esitatud teemast, nimelt:

1) võrrandite kasutamisest loobumine õppimise varases staadiumis ja pöördumine enama juurde lai rakendus aritmeetilised meetodid ülesannete lahendamiseks;

2) “ajalooliste” probleemide ja iidsete lahendusmeetodite laiem kasutamine;

3) keeldumine kaootiliselt õpilastele ülesannete pakkumisest erinevaid teemasid ja probleemide ahela käsitlemine kõige lihtsamatest, kõigile õpilastele kättesaadavatest kuni keerukate ja väga keerukateni.

Tekstülesannete liigid lahendusviiside järgi.

Sõnaülesanded võib jagada aritmeetiliseks ja algebraliseks. Selline jaotus tuleneb konkreetsele probleemile tüüpilisema (ratsionaalsema) lahendusmeetodi valikust.

Aritmeetikaülesanded kätkevad endas tohutult võimalusi õpetada kooliõpilasi iseseisvalt mõtlema, analüüsides ebaselgeid elusituatsioone. Aritmeetika on lühim tee looduse mõistmiseks, kuna see tegeleb kõige lihtsamate, fundamentaalsemate eksperimentaalsete faktidega (nt jutustamine

kivid “ridades” ja “veergudes” viivad alati ühte

tulemus):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Vaatame mõnda tüüpi ülesandeid.

“Sama summa eest osteti kahte sorti kaupa, esimene liik on poole väiksem kui teine. Need segati ja müüdi pool segust kõrgeima, ülejäänu madalaima klassi hinnaga. Kui suur protsent müügist saadi kasumist või kahjumist?

See on sisuliselt tüüpiline probleem, mida saab lahendada suvaliste mõõtühikute kasutuselevõtuga. Kuid ka sellisel tingimusel väljendub siin selgelt lahenduseks vajalike tundmatute suuruste toimimine.algebraline iseloomu. Sellega kaasneb sageli probleeme, mille aritmeetiline lahendus on algebralisest palju lihtsam. See võib sõltuda kahest põhjusest. Mõnel juhul on üleminek teadaolevalt tundmatule nii lihtne, et võrrandite koostamine (üleminek tundmatust teadaolevale) tooks kaasa asjatut tülikat, aeglustades lahendusprotsessi. Näiteks järgmine ülesanne:

"Ühel päeval pakkus kurat, et teeb Loaferile raha. "Niipea, kui te selle silla ületate," ütles ta, "raha kahekordistub." Võid seda mitu korda risti teha, aga pärast iga üleminekut anna mulle selle eest 24 kopikat. Laisk oli nõus ja... pärast kolmandat üleminekut jäi ta rahata. Kui palju tal alguses raha oli?

Teine on klassikaline probleem, mis on huvitav tingimuse paradoksaalse sõnastuse tõttu. "Sünteetilise" lahenduse etapid rulluvad selles lahti, nagu ka eelmises ülesandes, vastupidises järjekorras kirjeldatud sündmuste kulgemisele.

“Munamüüja müüs esimesele ostjale poole oma ostukorvis olevate munade koguarvust ja veel pooled munad; teine ​​ostja sai pool ülejäänud osast ja teine ​​pool muna, kolmas ostja sai poole ülejäänud osast ja veel pool muna, pärast mida ei jäänud tal enam midagi. Mitu muna oli alguses korvis?

Muudel juhtudel nõuab võrrandi koostamine sellist arutluskäiku, mis iseenesest on eesmärgi saavutamiseks piisav. Need on aritmeetilised ülesanded selle sõna täies tähenduses: nende algebraline lahendamine ei ole lihtsam, vaid keerulisem ja hõlmab tavaliselt lisatundmatute sisestamist, mis siis tuleb kõrvaldada jne.

Seega, kui näiteks probleemis"Tanya ütles: mul on 3 venda rohkem kui õdesid. Kui palju on Tanya peres rohkem vendi kui õdesid? tähistage vendade arvu x-ga, õdede arvu y-ga, siis on võrrand x − (y − 1) = 3, aga kui me juba arvasime, et peame kirjutama y−1 (õde ei lugenud ennast ), siis on juba selge, et vendi pole mitte 3, vaid ainult 2 õdedest rohkem.

Toome veel paar näidet.

«Sõudsin ülesvoolu ja silla alt möödudes kaotasin mütsi. 10 minuti pärast märkasin seda ja sama jõuga turnides ja sõuddes jõudsin 1 km sillast allpool mütsile järele. Kui suur on jõe kiirus?

Lahendus: 1 (60:(10+10))=3 (km/h)

«Kui ma jaama jõudsin, saadeti mulle tavaliselt auto järgi. Saabunud üks päev tund aega varem, läksin jalgsi ja kohtudes mulle järele saadetud autoga, jõudsin sellega kohale 10 minutit varem kui tavaliselt. Mitu korda sõidab auto kiiremini kui mina kõnnin?”

Vaatame samm-sammult selle probleemi lahendust:

1) 10:2=5 (min) – aeg, mis jäi autol õigeks ajaks kohtumispunktist jaama jõudmiseks.

2) 60-5=55 (min) - aeg, mis kulus jalakäijal sama vahemaa läbimiseks.

3) 55:5=11 (korda) auto läheb kiiremini.

“Teatud vahemaa allavoolu sõitmiseks paadiga kulub kolm korda vähem aega kui vastuvoolu. Mitu korda on paadi kiirus suurem kui hoovuse kiirus?

Selles ülesandes peate ära arvama, kuidas liikuda ajast kauguseni.

Need on väga head aritmeetilised ülesanded: need nõuavad konkreetsest olukorrast selget arusaamist, mitte tegutsemist päheõpitud formaalsete mustrite järgi.

Siin on veel üks näide aritmeetilisest ülesandest, mille lahendamine ei nõua "toiminguid":

« Keegi vallatu valas tõrvapudelist kärbse salvi meepurki. Ta segas korralikult läbi ja valas siis sama lusikatäie segu purgist tõrvaga pudelisse. Siis tegi ta seda uuesti. Mida saite rohkem: mett tõrvaga pudelis või tõrva meega purgis? »

Probleemi lahendamiseks piisab, kui esitada endale küsimus: kuhu kadus pudelist tõrv, mis asendati meega?

See ei ole algebra, sarnaste terminite toomine ega "ülekandmine ühest osast teise vastupidise märgiga". See on just see loogika, mis on seotud imaginaartehtetega, millel on uuritavate suuruste valdkonnas väga reaalne tähendus, mille arendamine ja täiustamine kuulub aritmeetika otseste ülesannete hulka.

Erinevus olemuselt aritmeetiliste ja algebraliste ülesannete vahel on mõnevõrra ähmane, kuna need sõltuvad kvantitatiivsetest tunnustest, mille hindamine võib erineda, nagu on võimatu tõmmata piiri "mitme tera" ja "terade kimbu" vahele. ”

Vaatame lähemalt tekstülesannete liike ja nende lahendamise viise. Vaatleme neid probleeme, mida paljud inimesed kipuvad võrrandite abil lahendama, kuid samas on nende tegudele lihtsad ja mõnikord väga ilusad lahendused.

1. Probleemide leidmine nende mitmekordse suhte ja summa või erinevuse järgi ("osadeks").

Selliste probleemidega tutvumine peaks algama nendega, kus me räägime osadest nende puhtal kujul. Nende lahendamisel luuakse alus kahe arvu leidmise ülesannete lahendamiseks nende suhte ja summa (erinevuse) järgi. Õpilased peavad õppima aktsepteerima sobivat suurust 1 osana, määrama, kui palju selliseid osi on teises koguses ja nende summat (vahet).

a) Moosi jaoks võta 2 osa maasikaid ja 3 osa suhkrut. Kui palju suhkrut vajate 3 kg maasikate kohta?

b) Ostsime 2700 g kuivatatud puuvilju. Õunad moodustavad 4 osa, pirnid – 3 osa, ploomid – 2 osa. Mitu grammi õunu, pirne ja ploome eraldi?

c) Tüdruk luges 3 korda vähem lehekülgi, kui tal oli jäänud. Mitu lehekülge on raamatus, kui ta loeb 42 lehekülge vähem?

Selle probleemi lahendamist on soovitatav alustada joonisega:

1) – 42 lehekülge.

2) – 1. osa ehk mitu lehekülge tüdruk luges.

3) – raamatus.

Tulevikus oskavad õpilased lahendada keerulisemaid ülesandeid.

c) Probleem S.A. Rachinsky. Veetsin aasta Moskvas, külas ja teel - ja pealegi Moskvas 8 korda rohkem aega kui teel ja külas 8 korda rohkem aega kui Moskvas. Mitu päeva veetsin teel, Moskvas ja maal?

d) Sovhoosis korjates kogusid õpilased 2 korda rohkem tomateid kui kurke ja 3 korda vähem kui kartuleid. Mitu köögivilja kogusid õpilased individuaalselt, kui kartulit kogusid 200 kg rohkem kui tomateid?

e) Vanaisa ütleb oma lastelastele: „Siin on teile 130 pähklit. Jagage need kaheks osaks, nii et väiksem osa 4 korda suurendatuna oleks võrdne suurema osaga, mida vähendatakse 3 korda.

f) Kahe arvu summa on 37,75. Kui esimest liiget suurendatakse 5 korda ja teist liiget 3 korda, võrdub uus summa 154,25. Leidke need numbrid.

Arvujagamisprobleemid on selles osas seda tüüpi.

2. Kahe arvu leidmine nende summa ja erinevuse järgi.

a) Kahes pakis on 50 vihikut ja esimeses pakis on veel 8 vihikut. Mitu märkmikku on ühes pakis?

Seda tüüpi probleeme alustan alati joonisega. Seejärel teen ettepaneku väärtused võrdsustada. Poisid pakuvad kahte võimalust: eemaldage see esimesest pakist või lisage see teise. Nii määratakse kaks peamist viisi: läbi kaks korda väiksema arvu või kaks korda suurema arvu.

Kui need meetodid on välja töötatud, on asjakohane näidata seda tüüpi probleemide lahendamise “vana” viisi. Pärast küsimust “Kuidas saate märkmikuvirnasid võrdsustada ja samal ajal kokku märkmikud pole muutunud? Õpilased arvavad, kuidas seda teha, ja järeldavad: väiksema arvu leidmiseks tuleb poolsummast lahutada poolvahe ja suurema arvu leidmiseks tuleb poolsummale lisada poolvahe. Tugevad õpilased saavad seda meetodit õigustada, teisendades sõnasõnalisi väljendeid:

Seda meetodit kasutades lahendatakse ühe toiminguga järgmine probleem:

b) Kahe arvu aritmeetiline keskmine on 3 ja nende poolvahe on 1. Kui suur on väiksema arvu suurus?

– väiksem arv.

Tasandustehnika on rakendatav ka ülesandes:

c) 8 vasikat ja 5 lammast sõid ära 835 kg sööta. Selle aja jooksul anti igale vasikale 28 kg rohkem sööta kui lammastele. Kui palju sööta iga vasikas ja iga lammas sõid?

3. “Arvamisprobleemid”.

Seda tüüpi ülesanded on seotud kavandatud toimingutega objektide ja suurustega. Traditsioonilises metoodikas kandsid seda tüüpi probleemid ka teisi nimetusi vastavalt tuntuimatele probleemidele: „sinine ja punane riie“, „segu ΙΙ tüüpi“. Ma arvan, et kõige kuulsam "arvamisprobleemide" hulgas on iidne Hiina probleem.

a) Faasanid ja küülikud istuvad puuris. Neil on teadaolevalt 35 pead ja 94 jalga. Uuri faasanite arvukust ja jäneste arvukust.

Kujutage ette, et puuris on ainult faasanid. Mitu jalga neil on?

Miks on vähem jalgu? (Kõik pole faasanid; mõned on küülikud). Mitu jalga veel?

Kui üks faasan asendatakse küülikuga, siis kui palju suureneb jalgade arv? (2. peal)

Võite valida mõne muu meetodi, kujutades ette, et kõik on küülikud.

Veel ühe väga huvitava põhjenduse tõid matemaatika vanad meistrid ja see pakub lastele suurt huvi.

- Kujutagem ette, et paneme porgandi puuri peale, milles istuvad faasanid ja küülikud. Kõik küülikud seisavad tagajalgadel, et porgandini jõuda. Mitu jalga on sel hetkel maas?
2 · 35 = 70 (n.)
- Kuid probleemi avalduses on 94 jalga, kus on ülejäänud?

- Ülejäänuid ei arvestata - need on küülikute esikäpad.

- Kui palju neid on?
94–70 = 24 (n.)
- Mitu küülikut?
24:2 = 12
Aga faasanid?
35 – 12 = 23

Olles omandanud arutlusalgoritmi, saavad lapsed hõlpsasti lahendada järgmised probleemid:

b) Segasime 135 naela kahte tüüpi teed kogumaksumusega 540 rubla. Mitu naela mõlemast klassist eraldi võeti, kui esimese klassi nael maksis 5 rubla ja teise klassi nael 3 rubla?

c) 94 rubla. ostis 35 arshinit sinist ja punast riiet. Sinise riide aršini eest maksti 2 rubla ja punase riide aršini eest 4 rubla. Mitu arshinit mõlemast riidest eraldi ostsite?

d) Omanik ostis 112 jäära, vanu ja noori, ja maksis 49 rubla. 20 alt. Vana jäära eest maksis ta 15 altüüni ja 4 pool rubla ning noore jäära eest 10 altüüni. Kui palju ja milliseid jäärasid osteti? Altyn - 3 kopikat, polushka - veerand kopikat.

Minu arvates oli see probleem IV artiklist huvitav. Arnold “Aritmeetiliste ülesannete valiku ja koostamise põhimõtted” (1946) autodest:

d)«Jaamast mööda sõites märkasin jaamas seisvat 31 vagunist koosnevat kaubarongi ning kuulsin määrdeaine ja siduri vestlust. Esimene ütles: "Kokku tuli kontrollida 105 telge." Teine märkas, et rongis oli palju neljateljelisi autosid – kolm korda rohkem kui kaheteljelisi, ülejäänud olid kolmeteljelised. Järgmisel lõigul tahtsin, kuna mul polnud muud teha, kokku lugeda, mitu vagunit selles rongis on. Kuidas seda teha?"

Aritmeetiline lahendus on lihtsam kui algebraline ja eeldab selget ettekujutust, et kaheteljelised ja neljateljelised autod kuuluvad (kvantitatiivselt) teatud gruppidesse (mõlemas 4 autot). Kõigi autode väljamõeldud “asendamine” kolmeteljelistega on levinud ja õpilastele juba tuntud võte.

Abivahend võib ollagraafiline lineaarne ülesande tingimuste kuvamine.

4. Liikumisülesanded.

Need ülesanded on traditsiooniliselt rasked. Õpilased peaksid hästi mõistma selliseid mõisteid nagu lähenemise kiirus ja eemaldamise kiirus. Kui õpilased õpivad selliseid probleeme võrrandi abil lahendama, on neil palju lihtsam vastuseni jõuda. Kuid lihtsam ei tähenda tervislikumat. Aastaid tagasi otsis üks mu matemaatikas üsna tugev õpilane tunni ajal entusiastlikult aritmeetilist viisi ülesande lahendamiseks, samal ajal kui terve klass lahendas seda võrrandi abil. Mäletan hästi tema sõnu, mis on mulle väga selged: "Ma ei ole võrranditest huvitatud."

Toon tingimused ja lahendused mitmele probleemile.

a) Vana probleem. Moskvast väljus Tverisse korraga kaks rongi. Esimene läbis kell 39 versti ja jõudis Tverisse kaks tundi varem kui teine, mis möödus kell 26 versta. Mitu miili Moskvast Tverini?

Lahendus:

1) Nii kaugele jäi teine ​​rong maha.

2) - eemaldamise määr.

3) Esimene rong oli teel.

4) kaugus Moskvast Tverini.

b) Moskvast tõusis korraga õhku samas suunas kaks lennukit: üks kiirusega 350 km/h, teine ​​kiirusega 280 km/h. Kaks tundi hiljem alandas esimene kiirus 230 km/h-ni. Kui kaugel Moskvast jõuab teine ​​lennuk esimesele järele?

Lahendus:

1) eemaldamise kiirus.

2) – teine ​​lennuk jäi nii kaugele maha.

3) lähenemiskiirus.

4) Just nii kaua kulub, kuni teine ​​lennuk esimesele järele jõuab.

5) (km) - sellel kaugusel Moskvast jõuab teine ​​lennuk esimesele järele.

c) Kaks autot lahkusid kahest linnast, mille vahemaa on 560 km, teineteise poole ja kohtusid 4 tunni pärast. Kui esimese auto kiirust vähendada 15% ja teise kiirust 20%, siis kohtumine toimub ka 4 tunni pärast.Leia iga auto kiirus.

Lahendus:

Võtame esimese auto kiiruseks 100% või 1.

1) lähenemiskiirus.

2) – teise kiirus on võrdne esimese kiirusega.

3) arvestab lähenemise kiirust.

4) esimese auto kiirus.

5) teise auto kiirus.

d) Rong möödub telegraafipostist veerand minutiga, 0,7 km pikkusest sillast 50 sekundiga. Arvutama keskmine kiirus rongi liikumine ja selle pikkus.

Lahendus: selle probleemi lahendamisel peavad õpilased mõistma, et silla ületamine tähendab rada kõndimist pikkusega võrdne sild ja rongi pikkus, minge mööda telegraafipostist - kõndige rongi pikkusega võrdset rada.

1) rong läbib vahemaa, mis on võrdne silla pikkusega.

2) - rongi kiirus.

3) rongi pikkus.

e) Aurulaev vajab kahe muuli vahel liikumiseks 40 minutit rohkem kui paat. Paadi kiirus on 40 km/h, aurulaeva kiirus 30 km/h. Leidke muulide vaheline kaugus.

Lahendus: 40 min h

1) auriku mahajäämus.

2) - eemaldamise määr

2) – teel oli paat.

3) vahemaa muulide vahel.

Need on vaid mõned liikumisülesanded tohutust mitmekesisusest. Nende näitel tahtsin näidata, kuidas saab ilma võrranditeta hakkama seni, kuni õpilastel on arenenud oskus neid lahendada. Selliseid ülesandeid saavad loomulikult teha tugevad õpilased, aga seda suurepärane võimalus nende jaoks matemaatiline areng.

5. Probleemid "basseinidel".

See on teist tüüpi ülesanne, mis tekitab lastele nii huvi kui ka raskusi. Seda võib nimetada ka ülesanneteks ühistööks, mis sisaldab ka mõningaid liikumisülesandeid.

Selle tüübi nimi pärineb tuntud iidsest probleemist:

A) Ateena linnas oli veehoidla, kuhu pandi 3 toru. Üks torudest suudab basseini täita 1 tunniga, teine, peenem, 2 tunniga ja kolmas, veelgi peenem, 3 tunniga. Niisiis, uurige, millise tunni pärast kõik kolm toru koos basseini täidavad?

Lahendus:

1) (v./h) – täitmiskiirus läbi ΙΙ torutoru.

2) (v./h) – täitmiskiirus läbi ΙΙΙ toru.

3) (v./h) – kogukiirus.

4) (h) – 3 toru täidavad reservuaari.

Võite pakkuda lastele veel ühe huvitava lahenduse:

6 tunni jooksul täidetakse 6 reservuaari läbi Ι toru, 3 reservuaari läbi ΙΙ toru ja 2 reservuaari läbi ΙΙΙ toru. Kõik torud täidavad 6 tunni jooksul vastavalt 11 reservuaari, ühe reservuaari täitmiseks kulub h.

Järgmisel probleemil on sarnane lahendus:

b) Lõvi sõi lambad ühe tunniga ja hunt sõi lamba kahe tunniga ja koer sõi lamba kolme tunniga. Ükskõik kui kiiresti nad, kõik kolm – lõvi, hunt ja koer – sõid selle lamba ära, loe nad kokku. (17. sajandi matemaatilised käsikirjad).

c) Üks mees joob kadi 14 päeva pärast ja oma naisega joob ta sama kadi 10 päeva pärast ja on teada, mitu päeva tema naine sama kadi joob. (Magnitski "Aritmeetikast")

Lahendus:

1) (h) – jooge päev koos.

) (h) – abikaasa joob päevas.

3) (h) – naine joob päevas.

4) (d.) – naine vajab seda kannu joogi joomiseks.

d) Vana probleem. Metspart lõunamerest kuni põhjameri lendab 7 päeva. Metshane lendab Põhjamerest Lõunamerre 9 päevaga. Nüüd lendavad metspart ja metshani korraga välja. Mitme päeva pärast nad kohtuvad? (sarnane lahendus)

e) Kaks jalakäijat lahkusid punktidest A ja B samal ajal üksteise poole. Nad kohtusid 40 minutit pärast lahkumist ja 32 minutit pärast kohtumist tuli esimene B juurde. Mitu tundi pärast B-st lahkumist tuli A juurde teine? (h) – töötab koos.

7) – on kohustatud praami maha laadima.

6. Newtoni probleem.

Lapsi huvitab eriti probleem, et lehmad söövad rohtu.Ülesanne avaldati esmakordselt ajakirjas General AritmeticI. Newton, kuid sellest ajast peale pole see kaotanud oma aktuaalsust ja on üksüks ilusatest aritmeetikaülesannetest, mis, kuigi seda saab lahendada võrrandi koostamisega, on palju ilusam - tehes seda järjekindlat arutluskäiku kasutades. Pidin jälgima, kuidas gümnaasiumiõpilased selle üle pead murdsid, tutvustades mitmeid muutujaid, ja samas said viienda klassi õpilased lahendusest hõlpsasti aru, kui neile lahenduse idee andis.

7) (lk) - süüakse päevas ja see on lehmade arv.

Vastus: 20 lehma.

Selles töös tuuakse näiteid ja vaadeldakse vaid mõnda tohutust arvust tekstülesannetest.

Kokkuvõtteks tahaksin märkida, et on vaja tervitada erinevaid probleemide lahendamise viise. Täpselt niiprobleemi lahendamine erinevatel viisidel– äärmiselt põnev tegevus erinevate vanuserühmade õpilastele. Huvi, uudishimu, loovus, soov läbi lüüa – need on tegevuse atraktiivsed küljed.Kui õpilane saab matemaatikatundides hakkama tekstülesannetega ehk oskab jälgida ja selgitada oma lahenduse loogilist ahelat, anda kõikide suuruste kirjelduse, siis saab ta edukalt lahendada ka füüsika ja keemia ülesandeid, võrrelda ja analüüsida. , muutke teavet kõigi kohta akadeemilised ained koolikursus.

Kirjandus.

1. Arnold I.V. Aritmeetiliste ülesannete valiku ja koostamise põhimõtted // RSFSR Pedagoogikateaduste Akadeemia Izvestija. 1946. – väljaanne. 6 - lk 8-28.

2. Zubelevitš G.I. Moskva matemaatikaolümpiaadide ülesannete kogu. – M.: Haridus, 1971.

3. Shevkin A.V. Tekstülesannete lahendamise õpetamine 5.-6. – M.: Gals plus, 1998.

4 . Shevkin A.V. Kursuse “Tekstülesanded koolimatemaatika kursusel” materjalid: Loengud 1-4. – M.: Pedagoogikaülikool “Esimene september”, 2006. 88 lk.

Kaugõpe õpetajatele vastavalt föderaalsele haridusstandardile madalate hindadega

Veebiseminarid, täiendkoolitused, erialane ümberõpe ja kutseõpe. Madalad hinnad. Rohkem kui 7900 haridusprogrammid. Kursuste, ümberõppe ja kutseõppe riiklik diplom. Veebiseminaridel osalemise tunnistus. Tasuta veebiseminarid. Litsents.

Otsustama matemaatika ülesanne - see tähendab sellise jada leidmist üldsätted matemaatika, mida rakendades ülesande tingimustele saame selle, mida peame leidma – vastuse.

Peamised tekstülesannete lahendamise meetodid on aritmeetilised ja algebralised meetodid, aga ka kombineeritud meetodid.

Probleemi lahendama aritmeetiline meetod - tähendab ülesande nõudele vastuse leidmist, sooritades ülesandes antud arvudega aritmeetilisi tehteid. Sama ülesannet saab lahendada erinevatel aritmeetilistel viisidel. Need erinevad üksteisest probleemi lahendamise protsessi arutlusloogika poolest.

Probleemi lahendama algebraline meetod - tähendab ülesande nõudele vastuse leidmist võrrandi või võrrandisüsteemi koostamise ja lahendamise teel.

Lahendage algebralise meetodi abil vastavalt järgmisele skeemile:

1) tuvastab ülesande tekstis käsitletud kogused ja teeb kindlaks nendevahelise seose;

2) tutvustab muutujaid (tähistab tundmatuid suurusi tähtedega);

3) ülesanded loovad sisestatud muutujate ja andmete abil võrrandi või võrrandisüsteemi;

4) lahendab saadud võrrandi või süsteemi;

5) kontrollige leitud väärtusi vastavalt ülesande tingimustele ja kirjutage vastus üles.

Kombineeritud lahendusmeetod hõlmab nii aritmeetilisi kui ka algebralisi lahendusmeetodeid.

IN Põhikool ülesanded on jagatud tegevuste arvuga liht- ja liitlahenduste lahendamisel. Nimetatakse ülesandeid, mille puhul küsimusele vastamiseks tuleb sooritada ainult üks toiming lihtne. Kui ülesande küsimusele vastamiseks peate tegema kaks või enam toimingut, siis selliseid ülesandeid kutsutakse ühend.

Liitprobleemi, nagu ka lihtsat, saab lahendada erinevate meetoditega.

Ülesanne. Kalur püüdis 10 kala. Neist 3 latikat, 4 ahvenat, ülejäänud haugi. Mitu haugi püüdis kalur?

Praktiline viis.

Märgistame iga kala ringiga. Joonistame 10 ringid ja määrake püütud kalad.

L L L O O O O O

Probleemi küsimusele vastamiseks ei pea te aritmeetilisi toiminguid tegema, kuna püütud haugi arv vastab tähistamata ringidele - neid on kolm .

Aritmeetiline meetod.

1) 3+4=7(p) - püütud kala;

2) 10 - 7 = 3(p) - püütud haugid.

Algebraline meetod.

Olgu x püütud haugid. Siis saab kõigi kalade arvu kirjutada järgmiselt: 3 + 4 + x. Probleemi tingimuste järgi on teada, et kalur püüdis vaid 10 kala. See tähendab: 3 + 4 + x = 10. Olles selle võrrandi lahendanud, saame x = 3 ja seega vastame ülesande küsimusele.

Graafiline meetod.

latikas ahven haug

See meetod, nagu ka praktiline, võimaldab teil ülesande küsimusele vastata ilma aritmeetilisi toiminguid tegemata.

Matemaatikas on üldtunnustatud järgmine probleemide lahendamise protsessi jaotus :

1) probleemi teksti analüüs, probleemi skemaatiline fikseerimine, probleemi uurimine;

2) probleemi lahendamise viisi leidmine ja lahendusplaani koostamine;

3) leitud planeeringu elluviimine;

4) probleemile leitud lahenduse analüüs, kontrollimine.

Probleemile lahenduse leidmise meetodeid võib nimetada järgmisteks:

1) Analüüs: a) kui arutluskäik liigub otsitavalt probleemi andmetele; b) kui tervik on jagatud osadeks;

2) Süntees: a) ülesande andmetelt vajalike juurde liikumisel;
b) kui elemendid ühendatakse tervikuks;

3) Probleemi ümbersõnastamine (selgelt sõnastage lahenduse otsimisel tekkivad vaheülesanded);

4) Induktiivne ülesande lahendamise meetod: täpse joonise põhjal määrata joonise omadused, teha järeldused ja tõestada neid;

5) Analoogia rakendamine (jätke meelde sarnane ülesanne);

6) Prognoosimine – tulemuste ettenägemine, milleni otsing võib viia.

Vaatame lähemalt probleemide lahendamise protsess:

Liikumise ülesanne. Paat läbis piki jõge kahe muuli vahel 6 tunniga ja tagasi 8 tunniga. Kui kaua kulub jõe äärde seatud parvel muulidevahelise vahemaa läbimiseks?

Ülesande analüüs. Probleem käsitleb kahte objekti: paati ja parve. Paadil on oma kiirus ning parvel ja jõel, mille ääres paat ja parv ujuvad, on kindel voolukiirus. Seetõttu sõidab paat mööda jõge lühema ajaga (6 h) kui vastuvoolu (8 tundi). Aga neid kiirusi pole ülesandes antud, nagu pole teada ka muulide vahemaad. Otsida tuleb aga mitte neid tundmatuid, vaid aega, mille jooksul parv selle vahemaa läbib.

Skemaatiline märge:

Paat 6 tundi

parvepaat

8

Probleemi lahendamise viisi leidmine. Peame leidma aja, mis kulub parvel muulidevahelise vahemaa läbimiseks A ja B. Selle aja leidmiseks pead teadma vahemaad AB ja jõe voolu kiirus. Mõlemad on tundmatud, seega tähistame kaugust AB tähega S (km), ja praegune kiirus ja km/h. Nende tundmatute seostamiseks probleemiandmetega peate teadma paadi enda kiirust. See on samuti teadmata, oletame, et see on võrdne V km/h. Siit tekib lahendusplaan, mis seisneb sisestatud tundmatute võrrandisüsteemi konstrueerimises.

Probleemide lahendamise rakendamine. Olgu vahemaa S (km), jõe voolukiirus ja km/h, paadi enda kiirus V km/h, ja parve vajalik liikumisaeg on võrdne x h.

Siis on paadi kiirus mööda jõge (V+a) km/h. Taga 6h sellisel kiirusel liikuv paat läbis vahemaa S (km). Seetõttu 6( V + a) =S(1). See paat läheb vastuvoolu kiirusega ( V - a)km/h ja ta läbib selle tee 8 tundi seega 8( V - a) =S(2). Jõe kiirusel hõljuv parv ja km/h, ujus distantsi S (km) taga x h, seega, Oh =S (3).

Saadud võrrandid moodustavad tundmatute võrrandisüsteemi a, x, S, V. Kuna teil on vaja ainult leida X, siis püüame ülejäänud tundmatud välistada.

Selleks leiame võrranditest (1) ja (2): V + a = , V - a = . Lahutades esimesest võrrandist teise, saame: 2 A= - . Siit a = . Asendame leitud avaldise võrrandiga (3): x = . Kus x= 48 .

Lahenduse kontrollimine. Leidsime, et parv läbib muulidevahelise vahemaa 48 tunniga, seega ka kiirus võrdne kiirusega jõe vooluhulk on võrdne . Paadi kiirus mööda jõge on võrdne km/h, ja vastuvoolu km/h Lahenduse õigsuses veendumiseks piisab, kui kontrollida, kas paadi enda kahel viisil leitud kiirused on võrdsed: + Ja
- . Pärast arvutuste tegemist saame õige võrdsuse: = . See tähendab, et probleem lahendati õigesti.

Vastus: Parv läbib muulidevahelise vahemaa 48 tunniga.

Lahenduse analüüs. Oleme selle ülesande lahenduse taandanud kolmest võrrandist koosneva süsteemi lahendamisele neljas tundmatus. Üks tundmatu tuli siiski üles leida. Seetõttu tekib mõte, et see lahendus pole just kõige edukam, kuigi lihtne. Saame pakkuda teist lahendust.

Teades, et paat läbis vahemaa AB mööda jõge 6 tunniga ja vastuvoolu 8 tunniga, leiame, et 1 tunniga läbib paat jõevooluga kaasa minnes osa sellest vahemaast ja vastuvoolu. Siis on nende vahe - = kahekordne vahemaa AB, mille parv läbib 1 tunni jooksul. Tähendab. Parv läbib osa distantsist AB 1 tunniga, seega läbib kogu distantsi AB 48 tunniga.

Selle lahendusega ei olnud meil vaja võrrandisüsteemi luua. See lahendus on aga keerulisem kui ülaltoodu (igaüks ei saa aru paadi kiiruse erinevusest allavoolu ja vastuvoolu).

Harjutused iseseisvaks tööks

1. Turist, sõitnud mööda jõge parvega 12 km, naasis tagasi paadiga, mille kiirus seisvas vees on 5 km/h, kulutades kogu teekonnale 10 tundi Leia jõe kiirus.

2. Ühes töökojas tuleb samal perioodil õmmelda 810, teises - 900 ülikonda. Esimesed täidetud tellimused 3 päeva ja teine ​​6 päeva enne tähtaega. Mitu ülikonda õmbles iga töökoda päevas, kui teises õmbles päevas 4 ülikonda rohkem kui esimene?

3. Kahest jaamast, mille vaheline kaugus on 400 km, asus teele kaks rongi. 4 tunni pärast vähenes nende vahe 40 km-ni. Kui üks rong väljub 1 tund varem kui teine, siis kohtutakse keset reisi. Määrake rongide kiirus.

4. Ühes laos on 500 tonni kivisütt ja teises - 600 tonni.Esimene ladu tarnib 9 tonni päevas ja teine ​​- 11 tonni kivisütt. Mitme päeva pärast on ladudes võrdne kogus kivisütt?

5. Hoiustaja võttis hoiupangast 25% oma rahast ja seejärel 64 000 rubla. Pärast seda jäi 35% kogu rahast kontole. Mis oli panus?

6. Töö kahekohaline number ja selle numbrite summa on 144. Leidke see arv, kui selle teine ​​number on 2 võrra suurem kui esimene.

7. Lahendage aritmeetilise meetodi abil järgmised ülesanded:

a) Mootorpaat veetis mööda jõge sõites 6 tundi, tagasiteel 10 tundi Paadi kiirus seisvas vees on 16 km/h. Kui suur on jõe voolu kiirus?

c) Ristkülikukujulise põllu pikkus on 1536 m ja laius 625 m. Üks traktorist suudab selle põllu künda 16 päevaga, teine ​​12 päevaga. Kui palju pinda mõlemad traktoristid 5 päeva töötades künnavad?

"...sel ajal kui me üritame matemaatika õpetamist eluga siduda, on meil raske ilma tekstülesanneteta hakkama saada - see on vene metoodika jaoks traditsiooniline matemaatika õpetamise vahend."

A.V.Ševkin

Tekstülesannete lahendamise oskus on õpilaste matemaatilise arengu, õppematerjalide omastamise sügavuse, arutluskäigu selguse ja erinevate küsimuste loogiliste aspektide mõistmise üks peamisi näitajaid.

Sõnaülesanded on enamiku koolilaste jaoks rasked ja seetõttu mitte armastatud õppematerjal. Küll aga kooli matemaatika kursusel talle antakse suur tähtsus, kuna ülesanded aitavad kaasa ennekõike loogilise mõtlemise, ruumilise kujutlusvõime arendamisele ning matemaatiliste teadmiste praktilisele rakendamisele inimtegevuses.

Ülesannete lahendamise käigus omandavad õpilased suurustega töötamise kogemuse, nendevaheliste seoste mõistmise ning kogemuse matemaatika rakendamisel eluliste ülesannete lahendamisel.Tekstülesannete lahendamine arendab loogilist kultuuri, äratades huvi esmalt probleemile lahenduse leidmise protsessi, seejärel aga õpitava aine vastu.

Traditsiooniline vene koolkond on alati pööranud erilist tähelepanulastele tekstülesannete lahendamise õpetamine. Ajalooliselt kandusid matemaatilised teadmised üsna pikka aega põlvest põlve edasi tekstülesannete kujul koos lahendustega. Nende tähendus seisnes ka rakenduslikus tähenduses, kuna sisult olid tegemist praktiliste ülesannetega (pangandus, kaubandus, maaarvestus jne). Venemaal peeti haritud inimeseks inimest, kes oskas neid tüüpilisi, igapäevaelus väga tähtsaid probleeme lahendada.

Tuleb märkida, et praktiliste probleemide lahendamise õppimine ei olnud lihtne. Sageli täheldati lahendusmeetodi meeldejätmist ilma seisundi teadliku mõistmiseta. Peaasi on määrata probleemi tüüp ja leida reegel selle lahendamiseks, mõistmine polnud oluline.

Keskmise pooleXXsajandil töötati välja hea tehnika probleemide lahendamise koolitus. Kuid kahjuks täheldati sageli, et õpetajad juhendasid õpilasi lahendama tüüpilised ülesanded, tavapäraste tehnikate meeldejätmine. Kuid päheõpitud mustri abil on võimatu õppida probleeme lahendama.

1960. aastate lõpus hõlmas koolimatemaatika hariduse reformimine võrrandite varajast kasutuselevõttu, et korraldada ülesannete lahendamise õpetamist uuel viisil. 5.-6. klasside tekstülesannete lahendamise algebralise meetodi roll oli aga liialdatud just seetõttu, et kooli õppekava Aritmeetilised meetodid on eemaldatud. Ja praktika on tõestanud, et ilma õpilaste mõtlemise piisava ettevalmistuseta on ülesannete lahendamine võrrandite abil ebapraktiline. Õpilane peab suutma arutleda ja ette kujutada tegevusi, mis objektidega toimuvad.

5-6 klassis tuleb piisavalt tähelepanu pöörata tekstülesannete lahendamise aritmeetilisele meetodile ja mitte kiirustada üle minema algebralisele meetodile - ülesannete lahendamisele võrrandi abil. Kui õpilane on algebralise meetodi selgeks õppinud, on peaaegu võimatu teda tagasi viia "toimingute abil lahenduse juurde". Pärast võrrandi koostamist on peamine asi õigesti lahendada ja vältida arvutusviga. Ja te ei pea üldse mõtlema, milliseid aritmeetilisi tehteid lahenduse käigus tehakse ja milleni need viivad. Ja kui järgime võrrandi lahendust samm-sammult, näeme samu toiminguid, mis aritmeetilises meetodis. Ainult õpilane ei mõtle sellele peaaegu üldse.

Väga sageli täheldame, et laps ei ole valmis ülesannet algebraliselt lahendama, kui võtame kasutusele abstraktse muutuja ja ilmub fraas “las x...”. Kust see “X” tuli ja millised sõnad selle kõrvale kirjutada, pole õpilasele praeguses etapis selge. Ja see juhtub, sest sellega on vaja arvestada vanuselised omadused lapsed, kellel on sel hetkel arenenud visuaalne-kujundlik mõtlemine. Nad ei ole veel abstraktsete mudelite jaoks võimelised.

Mida me mõtleme nõude all – probleemi lahendamine. See tähendab tegevuste jada leidmist, mis seisundi analüüsimise tulemusena viib vastuseni probleemis püstitatud küsimusele. Vastuse leidmiseks peate läbima pika tee, alustades teksti mõistmise hetkest, suutma põhiasja esile tõsta, ülesanne "tõlkida" matemaatika keelde, asendades sõnad "kiiremini", " aeglasem" koos "vähem" või "rohkem", koostage graafiline mudel või tabel, mis hõlbustab probleemi tingimuste mõistmist, väärtuste võrdlemist, tuvastamistloogilised seosed andmete seisukorra ja nõutavate vahel. Ja see on lastele väga raske.

Oluline on tähele panna, et ülesannete tekst peab olema koostatud nii, et laps arutletavast aru saaks ja ette kujutaks. Sageli kulub enne probleemi lahendamisele asumist palju aega seisukorra analüüsimisele, mil õpilased peavad selgitama, mis on malmist toorik, mille poolest see detailist erineb, aga ka raudbetoontugi, automaat elamispind jne. Ülesande tekst peab vastama tema taju tasemele. Muidugi tuleb probleemi tekstile lähemale tuua päris elu et sa näed praktiline kasutamine see mudel.

Probleemi lahendama asudes ei pea kõnealust olukorda mitte ainult ette kujutama, vaid ka kujutama seda joonisel, diagrammil või tabelis. Probleemi on võimatu kvalitatiivselt lahendada ilma seisundi lühiülevaateta. Just tingimuse skemaatiline koostamine võimaldab lahenduse arutamisel tuvastada kõik toimingud, mida on vaja probleemi küsimusele vastamiseks teha.

Vaatame mõningaid näiteid tekstülesannete lahendamisest

Liikumise ülesanded

Seda tüüpi probleem on koolimatemaatikakursustes laialt levinud. Nad pöörduvad erinevad tüübid liigutused: poole, vastassuundades, samas suunas (üks on teisele järele jõudmas).

Nende ülesannete mõistmiseks on mugav joonistada diagramm. Aga kui õpilane teeb tabelit, pole vaja teda selles veenda seda meetodit Tingimuste lühikirjeldus pole kuigi hea. Me tajume teavet erinevalt. Võib-olla "näeb" laps sellel kuval ülesannet paremini.

Näide 1. Kaks jalgratturit sõitsid korraga kahest külast vastu ja kohtusid 3 tundi hiljem. Esimene jalgrattur sõitis kiirusega 12 km/h ja teine ​​14 km/h. Kui kaugel on külad?

Koostame probleemi jaoks diagrammi, mis kajastab piisavalt seisukorda (liikumissuunad, jalgratturite kiirused, kohtumiseni sõiduaeg on näidatud, küsimus on selge):

Vaatleme selle probleemi lahendamiseks kahte võimalust:

1 viis:

Traditsiooniliselt meeldib meile neid probleeme lahendada, võttes kasutusele kontseptsiooni "sulgemiskiirus" ja leides selle liikumises osalejate kiiruste summana (või erinevusena). Üksteise poole liikudes liidame kiirused kokku:

1)12 + 14 = 26 (km/h) – lähenemiskiirus

Teades, et liikumisaeg on sama, võimaldab teine ​​toiming kasutada tee valemit (S = vt) arvuta välja vajalik kaugus ja vasta ülesandes püstitatud küsimusele.

2) 26 3 = 78 (km)

Teeme väljendi:

3 (12 + 14) = 78 (km)

Vastus : 78 km.

Kuid mitte kõik lapsed ei mõista, mis on see abstraktne suurus – lähenemiskiirus. Miks on võimalik liita ja muul juhul lahutada kahe erineva liikleja kiirust neid kombineerides? üldnimetus. Kui teie õpilased lahendavad selle probleemi teistmoodi, ärge püüdke neid enda poolele võita. Mõne jaoks pole veel aeg sellest aru saada ja teiste jaoks pole esimene meetod üldse saadaval.

2. meetod:

1)12 3 = 36 (km) – esimese jalgratturi tee kohtumiseni

2)14 3 = 42 (km) – teise jalgratturi kaugus kohtumiseni

3)36 + 42 = 78 (km) – külade vaheline kaugus

Teeme väljendi:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Vastus : 78 km.

Järk-järgult, kui laps õpib selliseid probleeme mõistma, on numbriliste avaldiste võrdlemisel võimalik näidata, et mõlemad meetodid on omavahel seotud, ja samal ajal meeles pidada korrutamise jaotusomadust:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Näide 2. Kahes pakis oli 54 märkmikku. Kui esimesest pakist võeti välja 10 vihikut ja teisest 14 vihikut, siis mõlemas pakis oli vihikuid võrdne arv. Mitu märkmikku oli alguses igas pakis?

Kuidas ma saan seisundit kuvada?

1. Koostage tabel:

Eemaldatud

Sellest sai

1 pakk - ? 54 tet.

2 pakki - ?

10 tet.

14 tet.

võrdselt

2. Tee joonis

Nad võtsid 14 tükki.

Nad võtsid 10 tükki.

Võrdselt

Kokku 54 tk.

Analüüsime ülesande lahendust, pöörates tähelepanu sellele, millistele küsimustele me iga aritmeetilise toimingu sooritamisel vastame:

1) Mitu märkmikku mõlemast pakist eemaldati?

10 + 14 = 24 (tk);

2) Mitu märkmikku on kahes pakis?

– 24 = 30 (tk);

3) Kui palju on igas märkmikupakis?

30: 2 = 15 (tk);

4) Mitu märkmikku oli alguses esimeses pakis?

10 = 25 (tk);

5) Mitu märkmikku oli alguses teises pakis?

54 – 25 = 29 (tk.).

5. klassis valib õpilane suure tõenäosusega just selle ülesande lahendamise meetodi. Kutsu teda 6. või 7. klassis seda ülesannet lahendama. Võib-olla olukord muutub ja õpilane lahendab selle võrrandi abil. Tehes samu toiminguid, ei mõtle ta paljudele küsimustele. Valides ülesande lahendamise vahendiks võrrandi, jõuate väga kiiresti sama vastuseni.

Kuidas siis lahendus välja näeks?

Olgu igas pakis pärast ümberpaigutamist x märkmikku,

siis (x + 10) märkmikud olid alguses esimeses pakis ja

(x + 14) märkmikud olid algselt teises pakis.

Teades, et kahes pakis oli 54 märkmikku, saame luua võrrandi:

x + 10 + x + 14 = 54

Võrrand jälgib kõiki samu toiminguid, mida tehakse ülesande lahendamise aritmeetilisel meetodil.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 aritmeetilise meetodi tehe)

2x = 54–24; (tegevus 2)

x = 30:2; (tegevus 3)

15 + 10 = 25 (tk.) (4 toimingut)

15 + 14 = 29 (tk.) (5 tegevust)

Vastus: 25 vihikut, 29 vihikut.

Kuid keegi ei esita küsimusi selle kohta, mida me iga sammu lõpetades leiame.

Näitan oma õpilastele alati, et 5. või 9. klassi ülesannete tekst on sageli sama tähendusega. Ja praktika näitab, et viienda klassi õpilased suudavad 9. klassi probleemiraamatust tingimused välja nuputada ja isegi võrrandi luua. Loomulikult pole sellise võrrandi lahendamiseks veel piisavalt teadmisi. Kuid samas ei jõua iga üheksandik 5. klassi jaoks aritmeetilise meetodiga ülesannet lahendada.

Koolilapsed valivad tekstülesannete lahendamiseks tavaliselt algebralise meetodi, aritmeetika juurde ei pöördu nad peaaegu kunagi tagasi. Nad lihtsalt ei näe seda meetodit, sattudes muutujate kasutusele ja võrrandite koostamisse.

Miks me väärtustame tekstülesannete lahendamise aritmeetilist meetodit? Esimene ja kõige olulisem on see, et iga aritmeetilise tehte tegemisel mõtleb õpilane küsimusele: "Mida ma selle tulemusel leidsin?" Ta kujutab ette, milles probleem seisneb, kuna igal tegevusel on selge ja konkreetne tõlgendus. Selle tulemusena areneb see aktiivselt loogiline mõtlemine. Arvutamise, mõõtmise ja probleemidele lahenduste otsimise käigus arendab õpilane kognitiivset universaalsust õppetegevused, mille teke onkõige tähtsam ülesanne kaasaegne süsteem põhiline üldharidus.

Sõnaülesandeid õpitakse kogu kooli matemaatikakursuse jooksul. Kuid probleemide mõistmist, tingimuste analüüsimist, arutlemist ja ratsionaalsete lahenduste leidmist on vaja õpetada 5.-6. klassis, kusjuures nende keerukusaste on madal ja probleem ise on üks olulisemaid kategooriaid. Rasket saab mõista lihtsaga.

Aritmeetiliste meetodite kasutamine ülesannete lahendamisel arendab leidlikkust ja taiplikkust, küsimuste esitamise ja neile vastamise oskust, st arendab loomulikku keelt ja valmistab kooliõpilasi ette edasiseks õppimiseks.

Tekstülesannete lahendamise aritmeetilised meetodid võimaldavad koostada lahendusplaani, võttes arvesse teadaolevate ja tundmatute suuruste vahelisi seoseid (võttes arvesse ülesande tüüpi), tõlgendada iga toimingu tulemust ülesande tingimuste raames, kontrollida selle õigsust. pöördülesande koostamise ja lahendamisega, st kujundada ja arendada olulisi üldhariduslikke oskusi.

Kui õpilane saab matemaatikatunnis toime tekstülesannetega ehk oskab jälgida ja selgitada oma lahenduse loogilist ahelat, iseloomustada kõiki suurusi, siis suudab ta edukalt lahendada ka füüsika ja keemia ülesandeid, oskab võrrelda ja analüüsida, informatsiooni teisendada. kõigis akadeemilistes ainetes koolikursusel.

Suur D. Polya ütles: "Kui tahad ujuma õppida, siis astu julgelt vette ja kui tahad õppida probleeme lahendama, siis lahenda need ära."Kui õpetame lapsi probleeme lahendama, ei suurenda me mitte ainult huvi aine enda vastu, vaid mõjutame oluliselt nende matemaatilise mõtlemise kujunemist, mis aitab kaasa uute teadmiste edukale arendamisele teistes valdkondades.